3813573923

1.1. STRUKTURY ALGEBRAICZNE PROSTE

(R5) (istnienie elementów przeciwnych)

=    : x+r(-x) = 0.

Pierścień przeciwny do    P.0,1) to pierścień (R, A,M^opp, P,0.1)

z mnożeniem danym wzorem

M^opp := M o t_r.

Pierścień przemienny to taki, w którym mnożenie jest operacją przemienną, co wyraża następujący diagram przemienny (wypisany wraz z równoważnym zdaniem logicznym):

R x R ^r" > R x R

Dziedzina całkowitości to pierścień przemienny o własności (ID)    V_x,yeR • (x-_Ry = 0 => (x = 0 v y = 0 ) ) ,

która wyraża brak nietrywialnych dzielników zera.

Podpierścień pierścienia (R,A,M, P.0,1) to szóstka (Q, _J4|'Q_Xg,M^Q_XQ,Pf'Q,0.1). w której Q jest podzbiorem R o następujących własnościach:

(SR1) A : Q^x2—+QcR-,

(SR2) M : Q^x2 —* Q c. R\

(SR3) P : Q —>QcR-(SR4) Qil.

Podpierścień o własności

(I) M : RxQ^QcR (wzgl. M : QxR-^QcR) nazywamy ideałem lewostronnym (wzgl. prawostronnym) pierścienia R. Ideał obustronny to taki, który jest zarówno lewo- jak i prawostronny. Ideał główny to ideał spełniający warunek

(PI)    V,₆q 3_r6R : q = r-_Rq* (wzgl. 3_9(6fi V,_£q 3_refl : q = q*-_Rr),

co zapisujemy jako

Q = (q*)_R ■

Homomorfizm pierścienia (Ri,^¹),    p!D,O^D, l/¹^) w pierścień

(R2,A^²\M^²\ P<²>,0<^a>,l<^a>) to odwzorowanie