78211

111. Zbiór liczb rzeczywistych

R8 V 3 x -f y = O    (istnienie elementu przeciwnego)

*€R yeR

Jeśli x + y = 0, to y nazywamy elementem przeciwnym do x. Można udowodnić, że dla każdego x e R istnieje dokładnie jeden element przeciwny; oznaczamy go symbolem -x.

R9 V 3 x • y = 1    (istnienie elementu odwrotnego)

*€R\{0} v€R

Jeśli x-y = 1, to y nazywamy elementem odwrotnym do x. Można udowodnić, że dla każdego x ^ 0 Istnieje dokładnie jeden element odwrotny; oznaczamy go symbolem j lub x~¹.

Dzięki aksjomatom R3 i R4 piszemy x + y 4- z zamiast x 4- (y + z) oraz x ■ y • z zamiast x • (y • z). Relacja porządkująca Zakładamy, że zbiór R jest uporządkowany liniowo, tzn.

RIO	V x<x x€R	(zwrot ność)
Rll	V x^j/Aj/$x=>x = j/ z.tf€R	(antysy met ryczność)
R12	V x ^ y Ay ^ z x ^ z *.y.2€R	(przechodniość)
R13	V x^|/Vy^x x,yGR	(spójność)
R14	V x^y=>x + z4;y + z x,y.i€R	(zgodność mniejszości z dodawaniem)
R15	V 0s$xA0s$y=»0s£xy z.yeR	(meujemność iloczynu liczb meujemnych)

Zamiast x ^ y (x jest mniejsze lub równe y) piszemy y ^ x (y jest większe lub równe x). Jeżeli x ^ y i x ± y, to piszemy x < y (x jest mniejsze od y) lub y > x (y jest większe od x). Element x < 0 nazywamy ujemnym, zaś x > 0 nazywamy dodatnim.

Aksjomat ciągłości. Wprowadzone dotychczas aksjomaty R1-R15 wystarczają do zbudowania arytmetyki liczb wymiernych, lecz nie wystarczają do zbudowania arytmetyki liczb rzeczywistych. Na przykład nie wystarczają one do dowodu istmenia takiej liczby dodatniej x. dla której x² = 2. Niezbędne jest przyjęcie jeszcze jednego aksjomatu. Poprzedzimy go wprowadzeniem dwóch ważnych pojęć.

Definicja 1. Mówimy, że zbiór X C IR jest ograniczony z góry. gdy istnieje liczba rzeczywista M taka. że x ^ M dla każdego x € X. to jest

3    V x^M.

A/6R z€X

O każdym elemencie Me R spełiuającym powyższy warunek mówimy, że jest ograniczeniem górnym zbioru X lub mówimy, że ogranicza zbiór X z góry.

Mówimy, że zbiór X C R jest ograniczony z dołu. gdy istnieje liczba rzeczywista m taka. że rn ^ x dla każdego x e X. to jest

3    V rn ś x.

meR xeX

0    każdym elemencie m € R spełniającym powyższy warunek mówimy, że jest ograniczeniem dolnym zbioru X lub mówimy, że ogranicza zbiór X z dołu.

Mówimy, że zbiór X C R jest ograniczony, gdy jest jednocześnie ograniczony z góry i z dołu.

Definicja 2. Niech X C R będzie zbiorem niepustym. Kresem dolnipn (infimum) zbioru X nazywamy największą liczbę ograniczającą zbiór X z dołu i oznaczamy inf A'. Kresem gómtpn (supremum) zbioru X nazywamy najmniejszą liczbę ograniczającą zbiór X z góry i oznaczamy sup X.¹

20

1

   Jeśli zbiór X nie jest ogranoczony z dołu, to przyjmujemy inf A' = —oo, jeśli X nie jest ograniczony z góry to

2

przyjmujemy sup A' = +oo.