3582320324

Wykład 15 22 stycznia 2013

1 Zasadnicze Twierdzenie Algebry

Podczas wykładu, w jego pierwszej części, kontynuuowałem rozpoczęty tydzień wcześniej dowód Zasadniczego Twierdzenia Algebry.

Twierdzenie 1.1 Ciało liczb zespolonych jest algebraicznie zamknięte.

2. Dalsza część dowodu przez indukcję. Niech v € R[x], dv = d = 2”m, gdzie m jest liczbą nieparzystą (łatwo zaobserwować, że każdą liczbę naturalną d różną od zera można zapisać w tej postaci). Indukcję poprowadzimy za względu na n.

Jeśli n = 0, wówczas v jest stopnia nieparzystego - wiemy zaś, że każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych i stopnia nieparzystego ma pierwiastek rzeczywisty.

Przypuśćmy więc, że n > 1 i niech    będą pierwiastkami wielomianu v

w jego ciele rozkładu¹. Naszym zadaniem będzie wykazanie, że pierwiastki te należą do zbioru liczb zespolonych C.

Mamy w tej sytuacji równość u(x) = o(x — ui) •... • (x — uj) gdzie a € R. Na mocy twierdzenia ?? o wzorach Viety,

v(x) = ax^d - aSi(ui,...,u<j)x^rf~¹ +... + (—l)^daSd(v,i,...,Ud)

i 5*,(«i,...,u,*) € R dla każdego k = 1 ,...,<£

Dla dowolnego h € Z zdefiniujmy wielomian

Vfc(x,x_it ...,x_rf) = JJ (x - Xi - x_i - hx_ix₃-)

Oczywiście Vh € R[x,xi,...,x<*] = R[x][xi,...,x^]. Co więcej, dla ustalonego h € Z wielomian jest wielomianem symetrycznym ze względu na zmienne wielomianowe xi,...,Xd. A więc, na mocy Zasadniczego Twierdzenia o Wielomianach Symetrycznych, Vh jest wielomianem Si(xi,...,Xd),...,S<*(xi,...,x<*) o współczynnikach w R[x]. Skoro 5i(ui,...,ud)>— »fid(ui,...,«<() € R także wielomian v/i(x,ui, ...,«<*) (a więc wielomian zmiennej x) ma współczynniki w R (dla

^łTu właśnie korzystamy z Twierdzenia o Ciele Rozkładu.

1