1673068234

16

ZBIGNIEW BLOCKI

Z twierdzenia Liouville’a w łatwy sposób wynika zasadnicze twierdzenie algebry. Bo jeżeli niestały wielomian P nie miałby pierwiastka, to / := 1 jP byłoby funkcją całkowitą. Co więcej

I l/(*)l = 0.

W szczególności, / byłaby funkcją ograniczoną, a więc na mocy twierdzenia Liou-ville’a otrzymalibyśmy, że P jest stały.

Następnym rezulatem jest zasada maksimum dla funkcji holomorficznych. Twierdzenie 6.3. Jeżeli f jest funkcją holomorficzną w obszarze Q taką, że \ f\ osiąga maksimum w f2, to f jest stała.

Dowód. Dla K(zo,r) c!lz twierdzenia o wartości średniej wynika, że \f(zo)\<PJ*' 1/(20 +reⁱ‘)\dt.

Jeśli zatem |/| < |/(2o)| ^na 9K(zo,r), to z ciągłości |/| wynika, że |/| = |/(zo)| na dK(zo,r), a wobec dowolności r, także w K(zq, r). Twierdzimy, że jeżeh |/| = |/(z₀)| ^w K(z₀,r), to wtedy / = f(zo) w K(zo,r). Jeżeli f(zo) = 0, to jest to oczywiste, możemy więc założyć, że / ^ 0 w K(zq, r). Mamy

o = (|/|²), = fj+W)S = f'f,

a zatem f = 0, więc / = f(zo) w K(zo,r). Pokazaliśmy więc, że jeżeli _max |/| —

K(z₀,r)

l/(*b)l, to / = f(z₀) w K(zo,r).

Jeżeli teraz |/| osiąga maksimum w Zq ę 11. t.o kładziemy

Q' := {z e SI : f(z) = f(z₀)}-

Zbiór ten jest oczywiście domknięty, natomiast z pierwszej części dowodu wynika, że jest on również otwarty, co oznacza, że fi' = fi. □

Twierdzenie 6.3 to słaba zasada maksimum (zakładamy, że maksimum jest globalne), niedługo pokażemy wzmocnienie Twierdzenia 6.3 (przy założeniu, że maksimum jest lokalne).

| ćwiczenie | Niech wielomian P(z) = ao+a\z-\-----ha_nzⁿ będzie taki, że |.P(.z)| < 1,

gdy |2| = 1. Pokazać, że \afi < 1, j = 1,... ,n.

| Ćwiczenie] Niech / będzie funkcją holomorficzną w otoczeniu pierścienia {1 < \z\ < 3} taką, że |/| < 1, gdy \z\ = 1 oraz |/| < 9, gdy \z\ = 3. Pokazać, że \f(z)\ < 4, gdy \z\ = 2.

Przy pomocy wzoru Cauchy’ego możemy też łatwo udowodnić dwa twierdzenia dotyczące ciągów funkcji holomorficznych.

Twierdzenie 6.4. (Weierstrass, 1841) Jeżeli f_n jest ciągiem funkcji holomorficznych w Q zbieżnym lokalnie jednostajnie do funkcji f, to f jest funkcją holomorficzną oraz dla każdego k = 1,2,... mamy lokalnie jednostajną zbieżność    —>

f(k)

Dowód. Niech K(zo,r) C fh Funkcje f_n spełniają wzór Cauchy’ego (3.6), zatem spełnia go również /. Z Lematu 4.2 wynika, że / jest holomorficzna w K(zq, r). Co więcej, z nierówności Cauchy’ego dostaniemy

k\

1—77TTT max [r/2)^k K{z₀,r/2)

I fn - f |.

□

_max \ti^k) - f^w\ <

K(z₀,r/2)