1673068230

12

ZBIGNIEW BLOCKI

czyli twierdzenie zachodzi przy założeniu, że Zq £ T.

Jeżeli zq e T, to dzieląc T na trzy (lub dwa) mniejsze trójkąty, których wierzchołkiem jest zq widzimy, że bez straty ogólności możemy założyć, że zq jest jednym z wierzchołków T. Jeżeli teraz podzielimy T na trójkąt T'_n o wierzchołku w zq oraz czworokąt Q_n tak, że l{Tń) dąży do 0, to z poprzedniej części wnioskujemy, że

zatem

f(z)dz = 0,

f(z)dz

< l{T'_n) max |/|.

□

Przykłady, i) Niech f(z) = e ² i dla R > 0 niech Tr będzie trójkątem o wierzchołkach 0, R, R + iR. Z Twierdzenia 4.1 mamy

z = 0.

Ćwiczenie | Wywnioskować stąd, że

f cos t²dt= ( sin t²dt =

Jo    Jo

ii) | Ćwiczenie] Całkując funkcję e^_z2 po brzegu prostokąta o wierzchołkach 0,R,R + \i,\i (ponieważ każdy wielokąt możemy podzielić na skończoną liczbę trójkątów, jest jasne, że Twierdzenie 4.1 zachodzi w przypadku, gdy T jest dowolnym wielokątem) pokazać, że

i:

e ^x cos(2Ax)dx =

A e I

Następnym krokiem jest pokazanie związku twierdzenia całkowego Cauchy’ego z istnieniem funkcji pierwotnej.

Twierdzenie 4.2. Niech będzie obszarem w C, natomiast f funkcją ciągłą w O. Wtedy następujące warunki są równoważne

i)    Istnieje F e 0(fl) takie, że F' — f;

ii)    / f(z)dz = 0 dla każdej drogi zamkniętej 7 w D.

J 7

Jeżeli jest obszarem gwiaździstym, to powyższe warunki są równoważne następującej własności

i™) / f{z)dz = 0 dla każdego trójkąta T C Cl.

JdT

Dowód. Implikacja i)=Mi) wynika natychmiast z (3.1). W celu pokazania implikacji przeciwnej ustalmy zq € £1. Dla 2 6 fl niech 7 będzie dowolną drogą łączącą zq oraz 2. Kładziemy

f(z) _:= [ m<K■