DSC00588

113

d#łuiU|A normalności: Przestrzeń topologiczna X. nazywamy patitrra-m» no/wainę. t/Oy dla każdej pary zbiorów domkniętych t A.li C X Wniejij zbioru otwarto I rozhjc/ne U, ł’ C X takie, le A C V IflCK

Twierdzenie Urysohha. kili prrestmA X jest normalna ta dla loi*i pary zbiorów domiiHfiyth ,1.3 c .V Utnieje hmieja dęylo /: A' - jO. 1) tako. że f(A) C {0} ł f(D) C |1).

Oo«M- Usta-my wszystkie liczby wymierne z przedziału 0..    <149

H ~    9***    = 0 i u-, ■ 1.1 następnie, pan

«■**<*• ka«lej liczbie u- - IV przyporządkujmy zbiór otwarty V. c -V tak. aby bi|l spełniony warunek

U)    ***** (» < y —» V_w C V*).

Pr;..-ujc-y U, := ff \„ mocy normalności przestrzeń, X dobierany ztwór otwarta Ł« tak. aby

(2)    złCtf_oCl7oC0i-A:\fl.

Załóżmy, żc już zdefiniowaliśmy zbiory otwarte r„, dla 1 - 0.1.....n,

spełniaj,jie warunek (1). Niech liczby A\ I < n będą takie, i*

*■■**{* < " : U-, <    oraz / - rrunfi < n : B, >

Zoomu korzystając Z warunku normalności i warunku indukcyjnego (1). mjaatm/ zbiór otwarty Ł'-_r o tej własności, ze

CCi CF..,CŁ|.

W ten sposób zakończyliśmy konstrukcję indukcyjny przyporzędko-N«łr—Ł', spełniającego warunek (I)

Zdefiniujmy teraz funkcję /: X —10. lj:

Jinf{w:x€£Cł    dUzeUt

^,W \l    dlax€ 0

Z określenia funkcji / wynika, że /(A) C {0} oraz f(B) c {1>-Z definicji funkcji / oraz z (1) i (2| otrzymujemy. że dU dowolnej liczby rzeczywistej r€ (0,1) mamy równość

(3) /-'(MD- U «« r‘(|0.r))- u

»>r    UO