DSC00586

Wo/d/M* 2. ElMn^nły topologii 113

definicja normalności: Przestrzeń topologiczny X. nazywamy przestrzeni ą normalną, gdy dis każdej pary zbiorów domkniętych i rozłącznych A. B C X istnieją zbiory otwarte i rozłączne U, V C X takie, że A c U \BcV.

Twierdzenie Urysohna. Jeśli przestrzeń X jest normalna, to dla każdej pary zbiorów domkniętych A. B C X Istnieje funkcja ciąg ta f : X - [0,1J taka. że f(A) C {0} / f(B) C {1}.

Dowód. Ustawmy wszystkie liczby wymierne z przedziału [0,1] w ciąg W := {//'u. w\, u'2... ■ }, gdzie top = 0 i ti/i =* 1, a następnie, przez indukcję, każdej liczbie w € 11* przyporządkujmy zbiór otwarty U_w C X tak. aby był spełniony warunek

(1)    ^w.w^ew (w <u/ ■=> U w C U^gf).

Przyjmujemy U\ := B. Na mocy normalności przestrzeni X dobieramy zbiór otwarty Uo tak. aby

(2)    A C Uo C Uo C Ui = X \ B.

Załóżmy, że już zdefiniowaliśmy zbiory otwarte U_m dla i = 0,1 • - - - * **• spełniające warunek (1). Niech liczby k_%l < n będą takie, że