top1

Rozdział I

Podstawowe pojęcia

§ 1. Pojęcie przestrzeni topologicznej

Definicja. Przestrzenią topologiczną nazywamy parę (X, O), złożoną ze zbioru X oraz zbioru 6 podzbiorów (nazywanych „zbiorami otwartymi”) zbioru X, taką że spełnione są następujące aksjomaty:

Aksjomat 1. Dowolna suma mnogościowa zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.

Aksjomat 2. Przecięcie dowolnych dwóch zbiorów otwartych jest zbiorem ■otwartym.

Aksjomat 3. 0 oraz X są zbiorami otwartymi.

Często 6 nazywamy topologią przestrzeni topologicznej (X, 6). Zazwyczaj opuszcza się w notacji symbol topologii, mówiąc po prostu o przestrzeni topologicznej X; tak też będziemy odtąd czynić.

Definicja. Niech X będzie przestrzenią topologiczną.

(1)    Zbiór A (z X nazywamy domkniętym, jeżeli X\A jest otwarty.

(2)    Zbiór U <= X nazywamy otoczeniem punktu xeX, jeżeli istnieje otwarty zbiór V, taki że xeV <= U.

(3)    Niech B cz X będzie dowolnym podzbiorem. Punkt xeX nazywamy wewnętrznym, zewnętrznym lub brzegowym punktem zbioru B. jeżeli, odpowiednio, otoczeniem x jest B, X\B czy też żaden z tych dwóch zbiorów.

(4)    Zbiór Ś punktów wewnętrznych zbioru B nazywamy wnętrzem B.

(5)    Zbiór B punktów przestrzeni X, nie będących punktami zewnętrznymi zbioru B, nazywamy domknięciem B.

Są to podstawowe pojęcia topologii mnogościowej; tak więc Czytelnik, który rctknąl się tu z nimi po raz pierwszy, powinien teraz przerobić pewną porcję ćwiczeń, aby się z nimi oswoić.