top3

15

§1. Pojęcie przestrzeni topologicznej

których elementami $3 podzbiory (zwane otoczeniami elementu x) zbioru A, spełniającą następujące aksjomaty:

01.    Każde otoczenie x zawiera x oraz X jest otoczeniem każdego swojego punktu.

02.    Każdy zbiór zawierający jakieś otoczenie x jest także otoczeniem ,x.

03.    Przecięcie dowolnej pary otoczeń x jest także otoczeniem x.

04.    W każdym otoczeniu x zawarte jest takie otoczenie x. które jest zarazem otoczeniem każdego swojego punktu.

Dostrzec można, że aksjomatyka ta jest nieco bardziej skomplikowana od aksjomatyki zbiorów otwartych. Natomiast charakteryzacja topologii poprzez operację domknięcia jest, z. kolei, całkiem zgrabna i ma swoją własną nazwę:

Definicja alternatywna (aksjomatyka Kuratowskiego operacji domknięcia). Przestrzenią topologiczną nazywamy parę (A^-,⁷), złożoną ze zbioru X oraz odwzorowania ⁷: 2* -* 2^X zbioru 2^X wszystkich podzbiorów zbioru X w siebie, taką że: KI. 0 = 0.

K2. A <=. A dla każdego A a X.

K3. A = A dla każdego A c: X.

K4. /tuB = AkjB dla każdych A, B e X.

Jak już powiedzieliśmy, dokładne sformułowanie i udowodnienie równoważności powyższych definicji pozostawiamy Czytelnikowi. W dalszym ciągu będziemy posługiwać się naszą pierwszą definicją.

§2. Przestrzenie metryczne

Jak wiemy, podzbiór w Rⁿ nazywa się otwarty w zwykłej topologii, jeżeli każdy jego punkt jest środkiem pewnej kuli zawartej w tym zbiorze. Ta definicja daje się w naturalny sposób rozszerzyć przez zastąpienie Rⁿ zbiorem X, w którym zadana jest odległość; w szczególności każda taka przestrzeń jest więc przestrzenią topologiczną.

Definicja (przestrzeń metryczna). Przestrzenią metryczną nazywamy parę (A.d). złożoną zc zbioru X oraz funkcji rzeczywistej d: X y X -* R (zwanej „metryką”), takiej żc:

Ml. d(x, y) ^ O dla każdych x, yeX, przy czym </(x, y) = O x = y.

M2. d(x, y) = d(y, x) dla każdych x. ye X.

M3 (nierówność trójkąta). d(x, z) < d(x, y)+d(y, z) dla każdych x, y, ze X.

Definicja (topologia przestrzeni metrycznej). Niech (A. d) będzie przestrzenią metryczną. 1‘odzbiór V c A nazywamy otwartym, jeżeli dla każdego xeV istnieje z > O takie, że „z-kula” K_r(x):= {ye A| rf(x, y) < e} o środku w x zawiera się się w V. Zbiór 0{d) wszystkich otwartych podzbiorów przestrzeni A nazywamy topologią przestrzeni metrycznej (A, d).