3754969709

14

ROZDZIAŁ 2. TEORIA POWIERZCHNI

2.2 Podstawowe pojęcia, metryka Riemanna

Definicja 2.2.1 (powierzchnia). Powierzchnia jest to dowolna, zwarta i spójna rozmaitość 2-wymiarowa.

W dalszej części tego opracowania, jeśli nie zaznaczono inaczej, rozpatrujemy powierzchnie zanurzone w przestrzeni IR³.

Definicja 2.2.2 (wektor styczny i przestrzeń styczna). Wektorem stycznym do powierzchni M w punkcie p nazywamy każdy wektor styczny w tym punkcie do pewnej krzywej różniczkowalnej c: I —> M. Zbiór wektorów stycznych do M w punkcie p nazywamy przestrzenią styczną i oznaczamy przez T_PM.

Przykład 2.2.3.    1. Niech p e R². Wówczas T_pR² = IR².

2.    Niech M pewna powierzchnia, oraz niech U C M otwarty, oraz p € U. Wówczas zachodzi: T_PU = T_PM.

3.    Załóżmy, że powierzchnia jest sparametryzowana w następujący sposób:

r{u,v) = (x(u, v),y(u, v), z(u, v))

gdzie (u, v) € U C R², zbiór U jest otwarty, a funkcje x, y, z są różniczkowalne. Wprowadźmy oznaczenia:

*. = »«,«) »- ⁼ §»("’*') ^z“ = p(^u’'')

Wówczas wektory dr(ei) = [x_u,y_u,2_u], dr(e2) = [a;„,y„,z„] stanowią bazę przestrzeni stycznej.

Definicja 2.2.4 (pierwsza forma kwadratowa). Pierwszą formą kwadratową powierzchni M w punkcie p nazywamy iloczyn skalarny:

(,): T_PM x T_PM R

Definicja 2.2.5 (metryka Riemanna). Metryką Riemanna na powierzchni M nazywamy różniczkowe przyporządkowanie każdemu punktowi p € M iloczynu skalarnego na przestrzeni T_PM.

Standardową bazą przestrzeni stycznej T_pM jest t£-. Rozważmy macierz [gij\i,j=i,2 zdefiniowaną jako: gij = (^-, ^-) (gdzie iloczyn skalarny (,) to standardowy iloczyn skalarny zR"). Z symetrii iloczynu skalarnego mamy    Macierz ta wyznacza

jednoznacznie metrykę Riemanna. Załóżmy bowiem, że mamy dwie krzywe c,d w M. Ustalmy dowolny punkt p € M. Wtedy oczywiście: