3754969716

20

ROZDZIAŁ 2. TEORIA POWIERZCHNI

c) Niech v, w € ^Tr(n,i₂) M, p = r(xi,x₂).

(dn_p(v),w) = — n(v, w) = — n(w,v) = (dn_p(w),v) — (v,dn_p(w)).    □

Uwaga 2.4.15. a) Odwzorowanie Af: U —> K³ opisane w poprzednim twierdzeniu, nazywa się odwzorowaniem Weingartena.

b) Tradycyjnie przyjmuje się oznaczenia (pochodzą one od Gaussa): L = (Af, r_XlXl), N = (AT,r_XlX2), M = (Af,r_x2X2). Przy powyższych oznaczeniach macierz drugiej

formy kwadratowej ma postać:

Definicja 2.4.16 (krzywizny, wektory i kierunki główne). Niech M powierzchnia, p € M. Liczby K\ = min_yę.sT_pM Ky, K2 — max_yęST_pM Ky nazywamy krzywiznami głównymi powierzchni M w punkcie p. Wektory Vi,v₂ £ ST_pM takie, że K_v. = Ki nazywamy wektorami głównymi, a kierunki wyznaczone przez te wektory nazywamy kierunkami głównymi.

Definicja 2.4.17 (krzywizna średnia). Liczbę H = \{K\ + K₂) nazywamy krzywizną średnią powierzchni M w punkcie p.

Twierdzenie 2.4.18. a) Krzywizny główne Ki i K₂ są wartościami własnymi odwzorowania —dn_p: T_PM —» T_PM, a wektory główne są unormowanymi wektorami własnymi.

b)    Zachodzi równość Km{p) = K\K₂.

c)    Jeśli y £ ST_pM i układ y\,y₂ jest bazą ortonormalną wektorów głównych, oraz p = <(y, yi), to: K_y = Ki cos² p + K₂ sin² p.

Dowód. Niech Ai < A2 to wartości własne przekształcenia samosprzężonego —dn_p, oraz yi, y₂ wektory własne odpowiadające tym wartościom własnym. Ponieważ —dn_p jest samosprzężone, więc yi, y₂ są ortogonalne. Możemy więc zakładać, że są one ortonormalne. Niech y £ ST_PM, oraz a* = (y, t/j). Wtedy oczywiście y = aiyi+a₂y₂. Ponieważ y 6 ST_PM, mamy:

2

\v? = 1 = Y ^al(yi’ Vi) = °i + “2

A stąd:

2

’-y = n(j/,J/) = n(aji/i + a₂y₂,aiyi + a₂j/₂) = Y <Ha,j(-dn_pyi,Vj)

= Y Vi,Vi) =    + °2^A2-