89703

a) {a: = (xi,x₂,x₃) € B³ : Xj > 0}; b) {x = (xi,x₂,x₃) € Z?³ : Xj + 3x₂ ^— 2x₃ = ()};

c) {x = (xj,x₂,ar₃) € R³ : X\ + 3x₂ - 2x₃ = 1}; d) {a: = (xi,x₂,x₃) € fi³ : x_x = x₃};

c) {ar = (ari,ar₂,ar₃) € Z?³ : XiX₂ = 0}; f) {x = (xj,x₂,x₃) € Z?³ : Xi~liczba wymierna}.

2) W przestrzeni wektorowej wszystkich macierzy n x n (rzeczywistych lub zespolonych) rozważamy podzbiór wszystkich macierzy symetrycznych (tzn. takich, że A¹ = A). Sprawdzić, że jest to pod przestrzeń tej przestrzeni. Podobnie dla macierzy antysymetrycznych (A^T = —A).

KOMBINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW.

PODPRZESTRZEŃ GENEROWANA PRZEZ DANY UKŁAD WEKTORÓW.

Definicja. Niech będą dane wektory Vi, v₂, ..., v_k w przestrzeni wektorowej V. Mówimy, żc wektor v £ V jest kombinacją liniową wektorów t/_1} 1^, ..., v_kt jeżeli istnieją skalary aj, q₂,    , takie że v = OiUi +

a₂v₂ + ... + a_kVk- Mówimy wtedy też, że wektor v daje się przedstawić w postaci kombinacji liniowej danego układu wektorów. Skalary Q|, q₂, ot_k nazywamy współczynnikami tej kombinacji liniowej. Kombinacją liniową możemy też nazywać każde wyrażenie postaci ait’i -fa₂t’₂ +... + a*v_k jak wyżej, gdzie Vi są wektorami danego układu, zaś q, - dowolnymi skal arami.

Można z łatwością sprawdzić, że zbiór wszystkich kombinacji liniowych danego układu wektorów (ograniczamy się tu do układów skończonych) jest podprzestrzenną danej przestrzeni wektorowej, i to najmniejszą (w sensie zawierania zbiorów) podprzestrżenią zawierającą ten układ wektorów. Podprzcstrzeń tę nazywamy pod przestrzenią generowaną przez dany układ wektorów i oznaczamy przez L(A).

Mówimy, że zbiór A generuje daną przestrzeń wektorową U, jeżeli L(A) = V, tzn. każdy wektor z przestrzeni V daje się przedstawić jako pewna kombinacja liniowa wektorów zbioru A. W naszym wykładzie najczęściej będziemy korzystali z tego pojęcia w przypadku skończonego układu wektorów - powtórzmy zatem, że:

zbiór (układ) wektorów {vi,ife,..., V*} generuje przestrzeń U, jeżeli każdy wektor u € U posiada przedstawienie w postaci pewnej kombinacji liniowej tego układu (tzn.

v = a_xv\ -I- a₂i>2 + ... + a_kv_k dla odpowiednio dobranych skalarów a* 6 K).

Przedstawienie takie na ogół nie jest jednoznaczne - z wyjątkiem pewnych szczególnych przypadków, o których będzie mowa przy omawianiu pojęcia bazy przestrzeni wektorowej.

LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ WEKTORÓW. GENEROWANIE PRZESTRZENI.

Definicja. Niech V będzie przestrzenią wektorową (nad ciałem K), niech v_x, v₂, ..., v_k 6 V. Mówimy, że zbiór (układ) wektorów {i'j, t^,..., v_k} jest:

a)    liniowo zależny, jeżeli istnieją Q|, q₂, ..., a_k € K nie wszystkie równe zeru. takie że

ai^i -f a₂v₂ + ... + a_kv_k = 0

(tzn. istnieje nietrywialna kombinacja liniowa tego zbioru, która się zeruje; aby stwierdzić, że badane wektory są liniowo zależne, wystarczy więc podać przynajmniej jedną taką nietrywialną kombinację);

b)    liniowo niezależny - w przeciwnym przypadku, tzn. gdy warunek OiVi +    + ... + a_kv_k = 0 pociąga

za sobą Oj = a₂ — ... = a_k = 0; (inaczej mówiąc, gdy jedyną kombinacją liniową tego zbioru, która się zeruje, jest kombinacja trywialna, ze wszystkimi współczynnikami równymi zeru). Jak widać, warunek liniowcy niezależności układu wektorów ma postać implikacji - której prawdziwość trzeba sprawdzać w konkretnych przypadkach badania liniowej niezależności danych wektorów.

BAZA PRZESTRZENI WEKTOROWEJ.

WSPÓŁRZĘDNE WEKTORA WZGLĘDEM BAZY.

WYMIAR PRZESTRZENI WEKTOROWEJ.

Niech V będzie przestrzenią wektorową. Zbiór B C V nazywamy bazą tej przestrzeni, jeżeli generuje V i jest liniowo niezależny.

To, że B generuje V - oznacza, że każdy wektor v € V ma przedstawienie w postaci kombinacji liniowej wektorów zbioru B. Z liniowej niezależności zbioru B wynika (nietrudne rozumowanie), że to przedstawienie jest jednoznaczne (z dokładnością do porządku składników i ew. składników z zerowymi współczynnikami). Tak więc: