3148973003

Rozdział 1

Wiadomości wstępne z teorii reprezentacji algebr

W rozdziale tym przedstawimy podstawowe pojęcia oraz fakty z teorii reprezentacji skończenie wymiarowych algebr nad ciałem algebraicznie domkniętym wykorzystywane w pracy. Dokładniejszą prezentację poruszanych zagadnień można znaleźć w [AsSiSk], [AuReSm] i [Ri2]. Jako źródło niezbędnych informacji z ogólnej teorii modułów polecamy [AnFu], zaś z algebry homologicznej [Ba].

1.1. Algebry i moduły

Nasz krótki wstęp do teorii reprezentacji algebr rozpoczniemy od zaprezentowania podstawowych pojęć związanych z algebrami i modułami. Przez cała pracę K będzie ustalonym ciałem algebraicznie domkniętym, zaś przez algebrę. rozumieć będziemy skończenie wymiarową łączną A-algebrę z jedynką. Jeśli A jest algebrą, to A-modulem nazywać będziemy skończenie wymiarowy lewy A-moduł. Kategorię A-moduł ów będziemy oznaczać przez modA. Pomiędzy kategoriami lewych i prawych A-modułów mamy standardową dualność D zdefiniowaną wzorem

D(M) := Homx(M, K) dla A-modułu (lewego bądź prawego) M.

Niech M będzie niezerowym A-modułem. Moduł M będziemy nazywać nierozkladalnym, jeśli dla każdego rozkładu M = X © Y na sumę prostą A-modułów mamy X = 0 lub Y = 0. Pełną podkategorię kategorii modA utworzoną przez nierozkładalne A-moduły będziemy oznaczać przez ind A.

9