95681

1

przedziale [tl, t2l?

m =

9. Jaką przestrzeń nazywamy przestrzenią zupełną?

Przestrzeń zupełną nazywamy przestrzeń metryczną, w której każdy ciąg Cauchyego leżący w tej przestrzeni ma granicę leżącą w tej przestrzeni, oraz w której wszystkie wyniki operacji na jej elementach również należą do tej przestrzeni. Przykładem przestrzeni zupełnej z metryką

euklidesową jest zbiór liczb rzeczywistych R: p(x,y) = ^/(x, —y,)² + (x₂ — y₂)* = Jy? .|x, —y,\²

10.    Scharakteryzować przestrzeń unitarną.

Przestrzenią unitarną zwiemy przestrzeń liniową X, w której określony jest iloczyn skalamy, i unormowaną przez normę: ||x|| = \(x, x), x e X

Ponieważ iloczyn skalamy indukuje normę, a ta z kolei metrykę, więc przestrzeń unitarna jest zatem przestrzenią metryczną.

11.    Scharakteryzować przestrzeń Ililherta.

Przestrzeń Hilberta jest przestrzenią zupełną, liniową (w przestrzeni liniowej zdefiniowane są 2 operacje: dodawanie elementów przestrzeni i mnożenie elementów przestrzeni przez stałą, gdzie wynik mnożenia jest też elementem przestrzeni), unitarną (w przestrzeni unitarnej określony jest iloczyn skalarny i jest ona unormowana poprzez normę ||x|| = V(x, x), x e X), a skoro unitarną to w efekcie również metryczną.

12.    Scharakteryzować przestrzeń L² •

Przestrzeń L² jest przestrzenią metryczną i zupełną, znormalizowaną dla przedziału (0, T)

norma \ x\

x²(t)dt , dla przedziału (-

>) norma IMI

■JJ*-

iOdt , całkowalną w

kwadracie (całka z kwadratu jest skończona) ale tylko L² (0, T), jest ona również przestrzenią sygnałów ciągłych.

13. Podać definicję momentu centralnego r-tego rzędu dla sygnału deterministycznego ciągłego.

c\ = j{t-m_xY x(C)dt

K

gdzie m_x - moment zwykły r-tego rzędu, określony wzorem ^m*

= ft^rx(t)dt

K

14.    Jakie operacje na elementach przestrzennych definiowane są w przestrzeni liniowej?

W przestrzeni liniowej definiowane są dwie operacje na elementach przestrzeni, są to: dodawanie elementów przestrzeni, mnożenie elementu przestrzeni przez stałą.

15.    Podać zależność na obliczenie iloczynu skalarnego w przestrzeni L² (0, T) - sygnałów ciągłych na odcinku czasu od 0 doT)

T

(*,y)=fx(t)y(t)dt

o

16.    Podać zależność na obliczenie iloczynu skalarnego w przestrzeni sygnałów dyskretnych

L².

(*.y) =y"x.y,

i-*

17. Podać zależność na obliczanie iloczynu skalarnego sygnałów ciągłych w przestrzeni L² w nieskończonym czasie.

(x,y)=$x(t)y(t)dt

R

18. Jaki zbiór elementów przestrzeni może stanowić bazę przestrzeni (np. X ")? Z ilu

2