113056

Statystyki swobodne i zupełne.

Definicja. Statystykę V(x) nazywamy statystykę swobodną (swobodna pierwszego rzędu) jeżeli jej rozkład (wartość oczekiwana E^fY^-K)]) nie zależy od 0.

Definicja. Mówimy, że rodzina rozkładów {P„ : 6e 0} pewnego elementu losowego X jest zupełna, jeżeli prawdziwy jest następujący warunek:

V0e0 E_o(h(X)) = 0<=>h=0 P₀-p.w.

Statystyka Tjest zupełna, jeżeli rodzina jej rozkładów jest zupełna.

Innymi słowy można powiedzieć, że dla statystyki zupełnej jedynymi funkcjami tej statystyki o wartościach oczekiwanych niezależnych od parametru 0 są funkcje stałe. Zatem można przypuszczać, że maksymalna redukcja danych bez straty informacji zawartej w próbie o parametrze rozkładu następuje wówczas, gdy statystyka dostateczna jest zupełna. Nie można wówczas podać żadnej (różnej od stałej) funkcji zupełnej statystyki dostatecznej, której wartość oczekiwana byłaby niezależna od 0. Obrazowo mówiąc z zupełnej statystyki dostatecznej nie można już "wycisnąć" żadnych zbędnych informacji.

Twierdzenie. Jeżeli T jest statystyką dostateczną zupełną, to jest minimalną statystyką dostateczną.

Dowód. Pomijamy problem istnienia minimalnej statystyki dostatecznej. Niech S będzie minimalną statystyką dostateczną. Pokażemy, że T i S są równoważne. Z definicji minimalnej dostateczności istnieje taka funkcja h, że S= h(T). Wystarczy zatem pokazć istnienie takiej funkcji g. że T=g(S). Z definicji warunkowej wartości oczekiwanej mamy V# E_fl[E_fl(r |S|] = E_tf(r), czyli V# E^E^T | S) - T] = 0. Wyrażenie E_tf(T|S)-r jest funkcją statystyki T ponieważ S=h(T). Z zupełności T otrzumujemy zatem, że V6> Wyprawie wszędzie T = [T |S), czyli istnieje taka funkcja g, że T=g(S).    ■

Pozostaje do rozstrzygnięcia jeszcze jedno pytanie - czy każda minimalna statystyka dostateczna jest zupełna? Odpowiedź na to pytanie jest negatywna. Oznacza to, że w pewnych sytuacjach z minimalnej statystyki dostatecznej można "wycisnąć" coś co nie zależy od 0.

Przykład. Rozważmy rodzinę rozkładów Cauchyego {C(0,1), OeR¹}. Dla tej rodziny rozkładów wektor statystyk porządkowych (X_tn, X_2n,..., X_fI„ I jest minimalną statystyką dostateczną. Jednakże z uwagi na fakt, że 0 jest parametrem położenia to różnica x„-x_to-(x„-•)-(*„-*) ma rozkład niezależny od 0, a więc jest różną od stałej statystyką swobodną. Tym samym statystyka porządkowa nie jest zupełna.