26974 Scan0057

Rozdział 7

Elementy teorii mocy

7.1 Równoliczność i moc zbioru

Definicja 7.1 Zbiory X i Y nazywamy równolicznymi, jeżeli istnieje bi-jekcja f : X —> Y. Piszemy wówczas X ~ Y. Funkcję f nazywamy funkcją ustalającą równoliczność¹.

Równoliczność zbiorów posiada następujące własności:

•    X ~ X (zwrotność),

•    X ~ Y =>• Y ~ X (symetryczność).

•    {X ~ y) A (Y ~ Z) => (X ~ Z) (przechodniość).

Widać, że relacja równoliczności jest relacją równoważności. Dzieli ona zbiory na klasy zbiorów równolicznych.

Przykład 7.1 Zbiór N i zbiór liczb naturalnych parzystych 2N są równo-liczne (N ~ 2N) ponieważ istnieje bijekcja f : N —» 2N, / (n) = 2n, gdzie n e N² ;

N    0    1    2    3    ...

liii

2N    0    2    4    6    ...

1

   Pojęcie równoliczności jest uogólnieniem pojęcia równej liczebności zbiorów skończonych.

2

   Zbiór liczb naturalnych nieparzystych 2N+1 także jest równoliczny z N. gdyż funkcja f(n) = 2n + 1 ustala równoliczność tych zbiorów.