1109145328

2 Trasformata Laplace’a

Definicja 2.1 Funkcję f : R —> K nazywamy oryginałem gdy

•    fi jej pochodna f są przedziałami ciągle,

•    /(f) — 0 dla t < 0,

•    istnieją stałe M, A takie, że |/(f)| < M ■ e^M.

Przykład 2.2 .

•    Funkcje ograniczone z ciągłą pochodną, np. sin(aź) ,cos(af),

•    wielomiany , e^al,

•    c‘ nie jest oryginałem bo zbyt szybko rośnie.

Przyjmujemy, ze wszystkie omawiane tu funkcje są równe zeru dla t < 0. Dla oryginału f(t) określamy nową funkcję: L[f] = F wzorem:

Piszemy wówczas L[/](s) = F(s). Funkcję F(s) nazywamy obrazem.

Nie każda funkcja jest obrazem:

Twierdzenie 2.3 Jeśli F(s) jest obrazem to

Jim F(s) = 0

Przykład 2.4 Obliczyć L[l].

F(s) = J 1 • e ^stdt = ^lim J 1-e ^stdt ⁼ tSL [^_l/s' ^e”lo ⁼    [~^1/s ■ ^e '^{T +} 1/sl

A zatem L[l] jest równe F(s) = —.

Podobnie można uzasadnić wzory (całkowanie przez części).

L[sin(6f)](s) =