str127 (4)

§ 2. FUNKCJA BESSELA 127

Definicja 3. Funkcją Bessela pierwszego rodzaju o wskaźniku v nazywamy funkcję

E( —l)^fc    /z\^v+2t

'r(k+i)r(k+v+i)\2j

przy założeniu |argz|<7t.

do —

Własność 1. Jeżeli n = 0, 1,2,to funkcja J_n(z) ma wyłącznie nieskończenie wiele miejsc zerowych rzeczywistych, które rozmieszczone są symetrycznie względem punktu z = 0. Wszystkie miejsca zerowe są jednokrotne z wyjątkiem punktu z = 0, którego krotność dla n = 1,2, ... jest równa n.

Uogólnieniem powyższego twierdzenia jest następująca własność.

i funkcję Eulera pierwszego

WŁASNOŚĆ 2. Jeżeli v jest dowolną liczbą rzeczywistą i |argz| <rc, to funkcja Jfz) ma nieskończenie wiele rzeczywistych dodatnich miejsc zerowych i skończoną liczbę 2N miejsc zerowych zespolonych sprzężonych, gdzie

fO, jeżeli v> —1 lub v = —1, —2, —3, ..., Im, jeżeli — (m + l)<v< — m, m = 1,2,...

Wszystkie miejsca zerowe funkcji J_v(z) są jednokrotne, a wyjątek może stanowić jedynie punkt z = 0.

Dalsze własności funkcji Jfz) wyrażają następujące zależności:

iy równanie

ymi nazywamy rozwiązania

(2.3)	Jfze^mm) = e^vm"' Jv(z), m — całkowite	>
(2.4)	J_n(z*) = (-l)^nJII(z), 7„(—z) = ( — 1)" Jn(z), J.	-n(z) = 7„(-z),
(2.5)	zJ'fz) = vJ,(z)-zJv+1(z),
(2.6)	zJ'fz)= -vJv(z) + zJv_,(z),
(2.7)	= -z^_vJ^rv+1(z)> az
(2.8)	7-{zJy(z)} = z^vJv_1(z), az
	2 sin vn
(2.9)	Jv(z)J'_v(z) j;(z) J_v(z) - , gdzie z# TEZ	0 i niecałkowite,
(2.10)	J J^2(fcz) zdz =$z^2 {J^2(fcz) - Jv _ j(fcz) Jv + i(kz)}	(v>-l),
(2.11)	J*7v(kz) Jflz)zdz = fc2_/2{/J^rł_i(fz)Jv(fcz)
	— kJv- fkz) J v(/z)}	dla k=£l i v>

Wykresy funkcji J₀(x), Jf x) oraz J₂(x), gdzie x = Re z przedstawione są na rysunku 2.3

\