img049

Kryteria prezwarlości i kompakfyczności przestrzeni metrycznej

fl dalszym przyjnuje«y, że przestrzel Metryczna (Z,d^) jest zanurzona w przestrzeni metrycznej (Z^.d) , tzn. ZCZj oraz dla dowolnych x,yeZ spełniona jest równość d(x,y) a d^(x,y) (zobacz też definicję podpr2S9-trzeni metrycznej, str, 11),

Definicje 4,5. Zbiór ACZj nazywamy ę-siecię zbioru ZCZ^ jeśli dla każdego xeZ istnieje teki punkt ye A, którego odległość od x jeet co najwyżej równa 6 , tzn, d(x,y)^£,

Z ostatniej definicji wynika, że połęczenie wszystkich kul o promieniu £ majęcych środki w punktach zbioru A zawiera zbiór Z.

Definicja 4,6/Deśll połęczenie rodziny zbiorów    . gdzie na

leży do pewnego zbioru wskaźników, zawiera zbiór Z, to mówimy, że ro-

dżina |^pccj pokrywa zbiór Z,

Zatem zbiór A jest £-siecię zbioru Z, jeśli rodzinę wszystkich kul o promieniu £ i majęcych środki w punktach zbioru A pokrywa zbiór Z.

Twierdzenie 4,6 (Hausdorffa *⁶) . Zbiór ZCZj z metrykę d jest przestrzenie prezwertę wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego £>0 istnieje skończone £~eieć zbioru Z w przestrzeni (Z^,d),

Dowód konieczności. Niech £ > O, Wybierzmy dowolny punkt Je Z, Deśli wszystkie punkty zbioru Z «el# odległość od J mniejszę będź równę £ , to zbiór jednopunktowy ) jest £-eiecię zbioru Z. Deśli tak r.ie jest, to istnieje Ie2 takie, że <J{l,f)>£, Deśli teraz każdy punkt zbioru Z ma odleołość bedź to od punktu J, będź to od ounktu

rzy skończonę £-sieć zbioru Z, albo też można go powtarzać nieskończony ilość razy. w drugim przypadku otrzymujemy cię9 nieskończony

który zp j->©>»• a ł s i t vi© 1 oma zagadnieniami matematycznymi, sie największy j«?y c dorobek dotyczy topologii mnogościowej, której jest prekursorem.

To tiousforff zdefiniował w sposób akajomatyczny ogólne przestrzenie to-poic/sicznr, nazwane od Jego Imienia ⁿprzestrzeniamt dauadorffa ", Wiele jprsc dotycz., równie* analizy iratemstycznej orez teorii grup ci«jg-,