39732

KRYTERIA ZWARTOŚCI W NIEKTÓRYCH PRZESTRZENIACH

METRYCZNYCH

Kryterium zbieSności w Rn

Wiemy. Sc zbiory zwarte w dowolnej przestrzeni metrycznej sądomknięte i ograniczone. Okazuje się. Sc Rn z dowolnąmetrykąd gencrowanąprzez normęlMI wzorem Vx.y e Rnd(x,y) = llx-yll

Domkniętośći ograniczonośćzbiorów sąwarunkicm koniecznym i dostatecznym dla zwartości zbiorów w tej przestrzeni.

Definicja

FunkcjęlMI okrcślonąna przestrzeni liniowej rzeczywistej X nazywamy normą, gdy spełnia ona następujące warunki

1)    jr = 0<=> a: =0

2)    VA € R Vare X Av= A • .v(jcdnorodność)

3)    Vz, y 6 X x+ yś, x + y Twierdzenie

Zbiór A w przestrzeni metrycznej (Rn.dT) jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony.

Twierdzenie Arzeli

Zbiór A w przestrzeni metrycznej C[a,b] z metrykązbioru jednostajnego jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony w tej metryce. (Ograniczonośćoznacza tutaj wspólna ograiuczonośćna przedziale [a.b) wszystkich funkcji zbioru A oraz funkcje tego zbioru sąjednakowo jednostajnie ciągle.)

Twierdzenia Riesza

W kaSdcj nieskończenie wymiarowej przestrzeni liniowej metrycznej z metrykągenerowaną przez ppewnąnormę, istnieje zbiór ograniczony i domknięty, który nie jest zwarty.