top5

17

§2. Przestrzenie metryczne

(X. d ). gdzie d jest dane wzorem d{x, y)</(x, >•)/(I + d{x, >')); ponadto, jak łatwo sprawdzić, 0(d) = C(d)\ Ale skoro wszystkie odległości w d są mniejsze od 1, to stąd w szczególności wynika, że ograniczoność metryki w żaden sposób nie odbija się na jej topologii.

Definicja (przestrzenie metryzowalnc). Przestrzeń topologiczną (X, (P) nazywamy metryzowalną, jeśli istnieje na X metryka d, taka że C(d) <* O.

Jak rozpoznać, czy dana przestrzeń topologiczna jest mctryzowalna? Odpowiedź na to dają „twierdzenia o metryzacji” formułowane w topologii mnogościowej. Czy metryzowalność jest rzeczą częstą, czy też, przeciwnie, stanowi rzadki szczególny przypadek wśród przestrzeni topologicznych? Bliższa prawdy jest pierwsza ewentualność: jest wielka mnogość przestrzeni metryzowalnych. Twierdzeniami o mctryzowalności nie będziemy się zajmować w tej książce, lecz materia! rozdziałów 1. VI i VIII przygotuje Czytelnika całkiem dobrze do dalszego zgłębiania tych problemów.

§3. Podprzestrzenie, sumy rozłączne i produkty

Często zdarza się, że pewne przestrzenie topologiczne konstruuje się z innych przestrzeni. Omówimy teraz trzy najprostsze i najważniejsze z takich konstrukcji.

Definicja (podprzestrz.eń). Jeżeli (X,<P) jest przestrzenią topologiczną, a X₀c X - podzbiorem, to C? |X₀: *= {l/nA'₀| UeC} nazywamy topologią pod-przestrzeni lub topologią indukowaną podzbioru X₀, a przestrzeń topologiczną (AT₀, 0|.Y_O) - podprzestrzenią przestrzeni (X, C).

Zamiast „otwarty w. topologii X_Q" mówimy krócej „otwarty w A^,0”; tak więc podzbiór B <=. X₀ jest otwarty w X₀ wtedy i tylko wtedy, gdy jest przecięciem X₀ z podzbiorem otwartym przestrzeni X:

Otwarty m X

Otwarty w X_a

Zbiory takie nie muszą być otwarte w topologii przestrzeni X, nie należy więc mylić ich ze zbiorami „otwartymi w X. zawartymi w X₀".

Definicja (suma rozłączna zbiorów). Jeśli X i Y są zbiorami, to ich sumę rozłączną X + Y definiuje się jako sumę mnogościową ich rozłącznych kopii, np. wzorem

X+Y:= A'x(0|ufx{l}.

2 - Topologia