136 137 (3)

136

a)    u = (3, —2, 1) € E³, Eo jest. prostą /: z = 2y = 42 w przestrzeni JE³;

b)    5 = (1,0,1,1) £ E\ Eo = Im {(1.0,2,0),(1.1,0,1)};

c)    u = (3,1,0,-1)6 E\ Eo= lin {(1,1, —1.0),(0,2,-1,1),(3,5, —4, 1)};

d)    n = (1,1,1,1) £ E⁴, E₀ = {(*,§/,z,t) : ar + y + z = 0,y=O;

e)    f = x⁷, E₀ = lin {x + 1. x - 1} w przestrzeni wszystkich funkcji ciągłych na przedziale [0, ll z iloczynem skalarnym określonym wzorem

i

(/> ff) = J Ąr)g(x)dz dla f ,g £ C([0,1]).

0

Rozwiązanie

Zgodnie z definicją rzutem ortogonalnym wektora u należącego do przestrzeni euklide-sowej E na jej podprzestrzeń Eo jest taki element Uo tej podprzestreeni, który spełnia warunek * — £<> _L Eo-

a)    Przestrzeń Eo jest generowana przez wektor v = (4,2.1), zatem u© = (4t,2t,<) dla pewnego t € R Z warunku ti - u₀ 1 Ej wynika że (fi - fio, fi) = (3 — 4ć)4 -f- (-2 —

3    /12 6 3 \

2t)2 + (1 — <) = 0, a więc t = - i ostatecznie tio = f    — J . Warto tu zauważyć,

że ten sam wynik otrzymamy używając metod geomcLrii przestrzeni R³ przy rzutowaniu prostopadłym punktu na prostą

b)    Wektory Vi = (1,0,2,0), v? = (1,1,0.1) tworzą bazę przestrzeni Eo, zatem fio = arii + 6v2 dla pewnych a,b € R Wektor u — fio jest ortogonalny do każdego z wektorów t*j, ^2, więc (fi — uo - fil) =0 oraz (fi — fio, tb) = 0. Stąd 5a -f b = 3 oraz a -f- 36 = 2,

cryU. = ł=łiSo= (l.i.l.i)

c)    Zauważmy najpierw, że

dirn Eo = ti

1	1	-1	0 "	u/j — a u-]	' 1	1 -1	0
0	2	-1	1	- rz	0	2 -1	1
3	5	-4	1 .		. 0	2 -1	1 .

= 2.

Spośród generatorów przestrzeni Eo wybieramy więc dwa wektory bazowe, np fii = (1,1,—1,0), Ć2 = (0 2,—1,1). Szukany rzut ma zatem postać fio = <*tb + 6fi2, gdzie a,b € R To oznacza, źe fi — fio = (3 — a, 1 — a — 26,a + b, —1 — b). Z warunków ortogonalności ti — fio 1- fi:, fi - fio -L 1J2 wynika, że (5 — fio, fii) = 4 — 3a — 36 = 0 oraz

(ti - uc fi₂) = 1 — 3a — 66 = 0. Stąd a = y, 6 = -1, czyli tio = (y, y, — y, -l)

d) Mamy

Eo = {(r,y,-x - y,y) : r,y € ii} = lin ((1,0,-1,0), (0,1,-1,1)}

Wektory £j =(1,0,—1,0), v₂ = (0,1,—1,1) przyjmujemy za bazę przestrzeni f^o. Podobnie jak poprzednio fio = afij + bv₂ = (a, 6, —a - 6,6). Dalej (u — fio, ) = —2a — 6 = 0,

12.-

(fi — fi©, fij) = — a — 36 + 1 = 0. Stąd otrzymujemy, że a = — —, 6 = —, więc £0 =

5    J>

/_ 1 2 1 2\ \ 55'    5*5/

e) Niech f₀ oznacza szukany rzut. Mamy f₀ — a(x -f 1) + 6(x — 3) dla pewnych liczb a, 6 G R oraz / - /₀ = z⁷ - (a + 6)x -+■ 6 - o. Dla = r + 1, ^ = x - 1 otrzymujemy

(/-= J (r^s + (l-c-i)t^J-2ai + 6-a) dr = ⁷ ~    + ^8!l _{= 0},

0

1

(/“ /d-72) = J - (1 +a +4)z² + 2ax + a -6) dx = —- = °-

o

5    7    1

Stąd wynika, ze a = —, b = — i ostatecznie /₀ = x —

12    12    b

• Przykład 14.3

Wyznaczyć rzuty ortogonalne podanych wektorów na podprzestrzenie o wskazanych bazach ortogonalnych:

a) ! = (l,l,l)€f³, E₀= lin {(5,-1.3),(1.2,-1)};

b)    5 = (1,1,3,1) e E*, Ec = lin {(1,1,0,0), (1,-1,2, -2), (2,-2,11)};

c)    5 = (1,2,3,4,5)6 E\ E₀ = lin {(1,0,0,0,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0,0,1)};

d)    / = x + sini, Eo = lin {l,sm2r} w przestrzeni wszystkich funkcji ciągłych na przedziale [0. 2tt) z iloczynem skalarnym określonym wzorem

2n

(/■P) = j f(z)g[x)dx\ o

e)    p = 1, Eo = l»n {x - l,3r² - 6r + 1} w przestrzeni #2[s) z iloczynem skalarnym określonym wzorem

(p, g) = P(0)?(0) -f p(l)ę(l) + p(2)ę(2).

Rozwiązanie

R2ut ortogonalny tio wektora i napodprzestrzeń Eo z bazą ortonormalną {?i, ii,..., et) ma postać

uo = (i, «i) e_: + .. + (5, €k) e_k,

co dla bazy ortogonalnej , i'?,.... vt przestrzeni Eo można zapisać następująco

ttę =

(*■ »»)

ilSill³

v: +

Vk

a) Przyjmujemy Vi =(5,—1,3), ?2 =(1,2,—1). Oczywiście «i X V?. Zatem

uo “W W ^s(l ’ ^{} fi(}    V*