22949

ran

Niech X-zb z przestrzeni /metrycznej /topologicznej lub (X, (X))-przestrzeń mierzalna

(X ®(x))

Tw. f^e C(X), f-funkcja ciągła na X => f E S(X) ,f- mierzalna na X (tw odwrotne nie zachodzi )

Dowód: Zb. Borela opisujemy przez zb. otwarte. Własności przeciwobrazów funkcji pozwalają stwierdzić, że jeżeli ? ¹ (U) - zb otwarty , ^Vu-*^{fc oru,Qrt}>' = >

f '(^-zb Borela

Wniosek:    f. R R _ mierzalna <» ^ ^ł((^-00/^cD -zb mierzalny ^VceR (mogą być

też zbiory (-00,c] ^v [c,-oo) ^v[c, +»))

C(X)^cS(X) ; X=[0,1] ;^</Z=^:B([0,l])

{x} €^([0,1]), bo [-l,x]n[0,l]={x> czyli ^Qn ^ - zb mierzalny

0n[0,l] =    => [0,1] -zb mierzalny

a , Qn[o,i]

f (x)=*⁰ ' ^x G    . f mierzalna stąd f-cja Dirichleta jest mierzalna ale nie

jest ciągła.

(X,"^-przestrzeń mierzalna    AEX

_Y = f ¹ ’^x€A

^Xa : X^{_) R}    A ' ⁰ ,x G A - funkcja charakterystyczna

Fakt AG¹^ - mierzalne o X* -f-cja mierzalna

Np. f. Dirichleta - f. charakterystyczna na zb ^ w przedziale [0,1] , n

Natomiast f=^>⁼¹ CjXaj -funkcja prosta