103980

7. Niech V, W i U będą przestrzeniami liniowymi, p : V —+ W, 0 : VP —* U i X : U —* V -przekształceniami liniowymi, D i B' - bazami przestrzeni V, C i C' - liazami przestrzeni W, a D i £/ - bazami przestrzeni U. Załóżmy, że dane są macierze:

A - macierz przejścia z bazy B' do bazy B,

E - macierz przejścia z bazy C do liazy C",

F - macierz przejścia z liazy D do bazy D',

P - macierz przekształcenia p w^f bazach D i C\

Q - macierz przekształcenia 0 w bazach C' i D.

R - macierz przekształcenia A w liazach D' i B'.

Poniższe macierze zapisać za pomocą macierzy A, E, F, P. Q. R:

a)    macierz przejścia z bazy D do bazy D',

b)    macierz przekształcenia p w liazach D i C,

c)    macierz przekształcenia <p w liazach D' i C',

d)    macierz przekształcenia p w bazach B' i C,

e)    macierz przekształcenia ifrop w liazach B i D.

f)    macierz przekształcenia 0 o p w^r bazach B' i D.

g)    macierz przekształcenia 0 o <p w^r liazacłi B i £/.

h)    macierz przekształcenia 0oęjw bazach B' i F/.

i)    macierz przekształcenia p o A o 0 w bazie C\

j)    macierz przekształcenia <p o A o 0 w bazach C" i C,

k)    macierz przekształcenia p o A o 0 w bazie C,

l)    macierz przekształcenia A o 0 o o A w bazach D' i B.

8. Przekształcenie liniowe : R² —► R³ ma w pewnych bazacli B przestrzeni R² i C " 2 1

, a przekształcenie liniowe 0 : R³ —» R² ma w pewnych

przestrzeni R³ macierz

0 1 1 0

liazacłi C' przestrzeni R³ i B' przestrzeni R² macierz

bazy B do liazy B' jest macierz

3 4 2 3

-1 1 0 1 _Xf .

2 — 1 2    ' ^Macierz9 przejścia z

. a macierzą przejścia z bazy C do bazy C' jest

2 0-1 0    1    1

1    1    0

. Wektor i; € R² ma w bazie B współrzędne [—1,1], a wektor w € R³

ma w bazie C współrzędne [3, —1,1].

a)    Znaleźć współrzędne wektora 0 o p(v) w bazie B.

b)    Znaleźć współrzędne wektora p o 0(tr) w bazie C'.

9. Korzystając z macierzy przekształcenia liniowego p w liazacłi standardowych zbadać, czy p jest 1) iniekcją: 2) suriekcją: 3) bijekcją. W przypadku, gdy p jest bijekcją, znaleźć macierz przekształcenia odwrotnego p~^x w bazacli standardowych i napisać jego wzór.

a)    p:R ² -> R³, p(xi,x₂) = (*i - 2x₂, -2x\ + 4x₂,2x! -f 3x₂),

b)    p : Ra[x] —* R³, y?(ax³+6x²+cx+d) = (2a+6—c+3d. 3«—26-fc+d, — a+lOfc— 7c+9</),

c) p : M_2x2 —» R³, p Q ^ ^ ] ) ^{=    +} ^ + ^c + 2d. 3a 4- 26 + d, a + 26 — 4c + 3d),

d) p : R³ —♦ R₂[x], p(a, b.c) = (a + 2b + 2c)x² + (3« + 46 — c)x + 2a+ 36 + c.