2104510607

10

2. Odwzorowania liniowe

STWIERDZENIE 2.2. Niech F, G:V —> W będą odwzorowaniami liniowymi i niech X e K. Wówczas

(1)    F + G jest odwzorowaniem liniowym,

(2)    AF jest odwzorowaniem liniowym.

DOWÓD: Zgodnie z definicją działań w Map(V, W)

{F + G)(v i + v₂) = F{v i + v₂) + G(v 1 4- v2)

= F(vi) + F(v₂) + G(vi) + G{v₂)

= (F + G)(_Vl) + (F + G)(v₂).

Podobnie

(F + G)(fiv) = F(/«;) + G(pv) = /zF(u) + /iG(v) = /z(F + G)(v).

Zatem F + G jest odwzorowaniem liniowym. Tak samo pokazujemy, że AF jest liniowe.    ■

Wniosek: Wszystkie odwzorowania liniowe z V do W tworzą przestrzeń wektorową; oznaczana bywa L(V,W).

STWIERDZENIE 2.3.

Niech V, W, U będą przestrzeniami wektorowymi. Jeżeli F:V —> W oraz G: W —* U są odwzorowaniami liniowymi, to złożenie G o F:V —* U jest też odwzorowaniem liniowym.

Dowód: Mamy

G o F(AiVi + A2U2) — G(F(AiVi + A2U2))

= G(X₁F(v₁) + X₂F(v₂))

= X₁G(F(v₁)) + X₂G(F(v₂)) = AiG o F(v 1) + X₂G o F(v2)

Uwaga: Niech F: V —* Kⁿ będzie jakimś odwzorowaniem. Ponieważ odwzorowania

7r^l:Kⁿ —» K¹: (xi,x₂, ■ ■ ■ ,x_n) Xi

są liniowe to, jak łatwo zauważyć, F jest liniowe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego i złożenie ■k¹ o F jest odwzorowaniem liniowym.

STWIERDZENIE 2.4. Odwzorowanie liniowe F jest wyznaczone jednoznacznie przez jego wartości na wektorach bazy.