2659241284

13

Uwaga 3.9 Wartość odwzorowania liniowego L w punkcie x oznaczamy Lx.

Uwaga 3.10 Odwzorowanie liniowe można utożsamić z macierzą (w peumych bazach). W naszym wypadku rozpatrujemy WYŁĄCZNIE bazy standardowe.

Twierdzenie 3.9 Niech

“Ir ' “2r

' Oli “12 “21 “22

L =

\ “dl “d2    ■ ■ • “dr /

Wtedy dla dowolnego x z R^r mamy

Twierdzenie 3.10 Odwzorowanie liniowe jest odwzorowaniem Lipschitza ze stalą y J2 52 więc jest ciągle.

Różniczkowalność funkcji wielu zmiennych.

Niech r będzie liczbą naturalną większą od 1, d i l liczbami naturalnymi, G dowolnym niepustym podzbiorem R^r, zaś p będzie punktem z R^r.

Definicja 3.4 Niech G będzie zbiorem otwartym w £^r, p punktem G, a f: G —* R^d dowolnym odwzorowaniem.

Odwzorowanie f jest różniczkowalne w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje przekształcenie liniowe L 6 L(R^r,R^d)

,_im /(p + h)-/(p)-Lh

n nhii

Wtedy przekształcenie liniowe L nazywamy pochodni odwzorowania f w punkcie p i oznaczamy symbolem Df{p) lub /'(p).

Jeżeli w każdym punkcie x zbioru G odwzorowanie f jest różniczkowalne, to mówimy, że jest to odwzorowanie różniczkowalne na zbiorze G.

Definicja 3.5 Niech G będzie zbiorem otwartym w £', a f: G —> R^d dowolnym odwzorowaniem. Załóżmy, że f jest różniczkowalne na G. Odwzorowanie Df:G—* L(R^r,R^d) nazywamy pochodną odwzorowania f.

Uwaga 3.11

1.    Df oznacza się również /'.

2. Zauważmy, że tak naprawdę przy utożsamieniu pochodnej odwzorowania f w punkcie p z macierzą [flij)    jeTr ^w standardowych bazach, możemy myśleć o Df jako odwzorowaniu z G w R'"^d.

3.    Niedługo się dowiemy, jak wyrazy macierzy (“tjOjgTdjgi^: reprezentującej pochodną odwzorowania f w punkcie p związane są z odwzorowaniem f.

Twierdzenie 3.11 Niech G będzie zbiorem otwartym w £^T, p punktem G, a f: G —* R^d dowolnym odwzorowaniem.

Odwzorowanie f jest różniczkowalna w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje przekształcenie liniowe L 6 L(R^r,R^d)

||/(p + h)-/(p)-Lh|| 11*11

Uwaga 3.12 Zauważmy, że w liczniku i mianowniku funkcji pod granicą występują normy euklidesowe w różnych przestrzeniach euklidesowych, chociaż są tak samo oznaczane.

odwzorowanie R^r3hw /'(p)(h) € R^rf. Należy jednak zaznaczyć, że przy rozpatrywaniu pojęcia różniczkowalności odwzorowań o dziedzinach i przeciwdziedzinach będących przestrzeniami Banacha (zobacz [2]) mówi się raczej o różniczce niż pochodnych.