95675

Zadania z algebry dwudniowej (zestaw 1)

Przestrzenie i przekształcenia liniowe

1. Niech S i T będą skończenie wymiarowymi podpr/estr/eniami przestrzeni liniowej V. Wykaż, że

(a)    Jeśli dimS = dimV\ toS= V.

(b)    Jeśli dimV = n oraz {i’j____,v_k) jest bazą 5. to istnieją wektory v**|,...,v„ € V takie, że {v|,...,v„} jest bazą

przestrzeni V.

(c)    Jeśli {vi.....v*} jest bazą S zaś {v**i.....v„} jest bazą 7\to {vi.....v„} jest bazą V wtedy i tylko wtedy, gdy

v = ser.

2. Niech U i V będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Niech {«|.....<*„} będzie bazą U. zaś {vi,...,v_n}

dowolnym układem wektorów przestrzeni V. Wykaż, że:

(a)    Istnieje dokładnie jedno przekształcenie liniowe f:U-*V takie, że /(w,) = v, dla i = I.....n.

(b)    Przekształcenie / jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy {vj.....v„) jest bazą V.

(c)    U ^ V wtedy i tylko wtedy, gdy diml/ = dim V.

3. Niech K będzie ciałem. A = [aij] 6 K"„ oraz b = [by] € K". Oznaczmy, przez A_u macierz, której początkowych n kolumn to kolumny macierzy A a ostatnia jest kolumna b [by]. Rozważmy układ //» równań liniowych o n niewiadomych.

X,'

(*)

= b

X„

Wykaż, że:

(a)    Układ (*) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy r(A) = r(A_u).

(b)    Jeśli n - m oraz delA ^ 0. to układ (*) ma dokładnie jedno rozwiązanie.

(c)    Jeśli b = 0. to zbiór rozwiązań układu (*) jest podprzestrzenią przestrzeni K" o wymiarze równym n - r(A).

4. Niech V będzie /i-wy miarową przestrzenią liniową nad ciałem K, zaś {vi.....v„) bazą V . Wskaż naturalny izo

morfizm V -* Kⁿ.

5.

Niech V = R(X]„ = {/ € R[X] : deg/ < n}. natomiast przekształcenie 5: V —► V niech przyporządkowuje wielomianowi jego pochodną. Pokazać, że Sjest cndomorlizmcm przestrzeni V' oraz znaleźć macierz 8 w bazie:

(a) (\,X.X².....X"),

(b) (I.X-c,

(X-c)² 2! ’

gdzie c jest ustaloną liczbą rzeczywistą.

6. Macierz przekształcenia <p:AT³—• K^y w bazie (C1.e2.e3) ma postać

	‘ * * 0 ‘		‘ * * 0 '		‘ . • 0 '
(a)	* * 0	(b)	* * 0	(c)	. * 0
	* * 1		* * 0		0 o .

Jakie własności przekształcenia tp można stąd odczytać ?

7. Obliczyć wielomian charakterystyczny endomorlizmu, który w pew'ncj bazie ma macierz postaci

-a„-i	-On-2 "	• -a\	-ao		' 0	0	0	-ao
1	0	0	0		1	0	0	-o,
0	1	0	0	(b)	0	1	• 0	—02
0	0	1	0		0	0	1	-a„-\

Czy każdy wielomian unormowany, z dokładnością do znaku, może być wielomianem charakterystycznym jakiegoś endomorlizmu ?

8. Niech <p: R[X]y —»R[X]j będzie przekształceniem danym wzorcm <p(/(X)) = ((X + 3)/(X))'. Sprawdzić, że <p jest przekształceniem liniowym i obliczyć jego wartości własne i wektory własne.

-3 0 2

9. Dana jest macierz A

-4 1 2 -4 0 3

. Znaleźć taką macierz odwracalną C € My(R) aby macierz C~^lAC była

diagonalna. Obliczyć A²⁰⁰¹.

I