95674

Zadania z algebry dwudniowej (zestaw 8)

Iloczyn tensorowy

1.    Wykaż następujące własności iloczynu tensorowego przestrzeni liniowych nad ciałem K:

(a)    V®K ^ K®V,

(b)    V,®V₂SV₂®V|,

(c)    (V,®V₂)®V3^\'₁®V2©V'_ł.

(d)    Vi©(v₂©v₂)2 v,®v₂®v₃,

(e)    (V,©V₂)®V'₃5?(V,®l'₂)©(V_l®V3).

<f) ^©(^©y-j)^^,®^)©^,®^),

(g)    y,®^®...®^)?-^,®...®^-,)®^,

(h)    ®... ® V„ V₀₍d® ... ® V_a(„j dla dowolnego O € S(/i).

(i)    (V|®...V*)®(V'*-i® ••®V'„)^V,®...®V_I,.

2.    Wskaż naturalne izomorfizmy podanych przestrzeni liniowych nad ciałem K:

(a)    K^Ą®K^m^K^.

(b)    K*_n®K'»^KZ.

(c)    Ar[X]®tf[J']^K(X.K].

(d)    K[X\_m® K[Y}„ * K[X, Y)_mjl, gdzie K[X. Y]_mjt = \in_K{X^kY‘ :k<mj< /»}.

3.    Wykaż izomorfizm:    y*®W = Hom/r(V,iy).

Wskazówka. Rozwat odwzorowanie t: V* x W —• Hom*(V, W), takie, że t(f,w)(v) = /(v) • u-.

4.    Niech (vi,V2,vj) będzie bazą przestrzeni V. zaś (h’|,h’₂) bazą przestrzeni W. Znajdź współrzędne wektora V| ®W| w bazach przestrzeni V® W wyznaczonych przez następujące bazy przestrzeni V i W:

(a)    (vi,V2,v₃) oraz (m-|,»-₂),

(b)    (vi +\*2 + v’3. v₃) oraz (»’i + w₂, H^f2),

(c)    (vi. vi + V2, V| + v₂ + v₃) oraz (w|. —h^).

5.    Jeśli V jest przestrzenią liniową nad K oraz K < L.to przez V/. oznaczmy przestrzeń otrzymaną przez rozszerzenie ciała skal arów do ciała L. Wykaż, następujące izomorfizmy przestrzeni liniowych:

(a)    (Kⁿ)_L*L\

(b)    (**)_ŁSli.

(c)    (V)_L *(!&)•,

(d)    (K[X\)_L*Llfl.

6.    Niech ó: K² — K². y: K* — K² będą przekształceniami liniowymi o macierzach w bazach jednostkowych równych odpowiednio ^    *    ₂'^. Znajdź (9©y)(£i ®£i). (<>®y)(£i®£₂). ($®V)(£i®£₂+£2®€i).

(<>®y)((ei+e₂)®(ei -e₃)).

7.    Wykaż, że:

(a)    dla dowolnych przestrzeni liniowych V\.....V„ zachodzi równość Idy', ©...©Idy; = Idy',_Si._iSy;.

(b)    jeśli <J>, € Honu M, W,), y, € Hom*(lK, Uj). dla i= 1.....n, to

(Vi ®...®y«)o(yi®...®y,,) = (yi o<j»,)®...®(y_no^,).

(c)    jeśli <J», ę Hom*(V/, W,-) są izomorfizmami dlaj= 1.....n. to <|)|®...®y_A jest izomorfizmem oraz

^1®..^,,)"' = yr^,®...®v;¹.

8.    Wykaż, że:

(a)    macierze jednostkowe l_m € K™, l„ € K'^ spełniają równość l_m ® /„ -

(b)    jeśli A, € Kⁿm. Bi € X'_k, A₂ € Kf, B₂ € K^k. to (*₂®fl₂)(/l, ®fl,) = (A₂Ai)®(B₂Bi).

(c)    jeśli A € GI(m,AT). B € Gl(n,tf), to A®B € G\(mn,K) oraz (A<S>B)~^X = A~^l ®B~^l.

Wskazówka. Wykorzystaj poprzednie zadanie.

9.    Wykaż, że:

(a) jeśli A € B_t.B₂ęKL lo A®{Bi+B₂) = (A®B_l) + {A®B₂).

(b) jeśli A|,A₂€J£. B € k], to (A| +A₂)®B= (A, ®B) + (A₂®B).

10. Wykaż, że jeśli AeK%, fl,.B₂€tf„\ to det(A ® B) = det/t^dei/f".

Wskazówka. Korzystając z zadania IS(b) zapisz macierz A®Bjako iloczyn dwóch macierzy blokowych A®B = {A ® /*)(/,„ ® B) i zastosuj twierdzenie Cauchy ‘ego.

8