3582334064

Kolokwium

ALGEBRA II rok WMS

ZADANIE 1 (10 ptk) Czy Z|, jest cykliczna? Wykaż, że Istnieje izomorfizm i^:Z„ —► ZJ, (należy wskazać konkretne odwzorowanie i udowodnić o nim, że jest izomorfizmem). Zbudować tabelkę wartości funkcji <p. Wykorzystując izomorfizm y?, rozwiązać w grupie Zj , równanie 9.r³ = 5.

ZADANIE 2 (10 ptk) Wykazać, że dla dowolnego homomorfizmu grup f:G —> //. Ker/ jest podgrupą G.

ZADANIE 3 (10 ptk) Stosując metodę RSA dla n = 11 • 13, e = 19 odszyfruj liczbę 3.

ZADANIE 4 (10 ptk) Ile istotnie różnych naszyjników o G kora li kaci i można utworzyć z 2 białych. 2 fioletowych i 2 czerwonych koralików. Dwa naszyjniki uważamy za takie same, jeśli jeden z nich powstaje z drugiego przez obrót lub dowolne przekształcenie izometryczne. Rozwiąż to zadanie stosując Lemat Burnsidea

ZADANIE 5 (10 ptk) Które z poniższych stwierdzeń są prawdziwe. Odpowiedź krotko uzasadnij:

(a)    Podgrupa alternująca A$ grupy S~> zawiera podgrupę rzędu 7

(b)    Gru|>a której rząd nie jest liczbą pierwszą nie jest cykliczna

(c)    Dla każdej grupy G istnieje podgrupa //. która jest cykliczna

(d)    Jeśli a = (12345678//23147568), to <t^_1 jest parzysta.

(e)    Grupa Z\₂ jest izomorficzna z grupą Z._t

Powodzenia!!!

2