3582334060

Kolokwium

Algebra II rok WMS

Zadanie 1. Niech A = {a + bi + cj + dk : a,b,c.d € R}, pomiędzy liczbami i.j.k zachodzą następujące zależności i • j = k, j • k = i, k • i = j, i² = —1, j² = —1, Ar² = — 1. (A, -f) jest grupą abelową.

Czy struktura (A +, •) jest pierścieniem, ciałem?

Zadanie 2. Opisz wszystkie p-podgrupy grupy S3 oraz oblicz ich liczbę.

Zadanie 3. Niech K będzie dowolnym ciałem. Udowodnij, że K\X\ jest pierścieniem ideałów głównych.

Zadanie 4. Udowodnij, że jeżeli <p : A B jest homomorfizmem pierścieni oraz ./ jest ideałem pierścienia D, to zbiór    jest ideałem pierścienia A.

Zadanie 5. Które z poniższych twierdzeń są prawdziwe.

Odpowiedź krótko uzasadnij.

(a)    Grupa rzędu 56 posiada podgrupę rzędu 8.

(b)    W pierścieniu ZrfA] wielomian X⁵ + 4X⁴ + X³ + A'² + 4X + 5 jest podzielny przez X +4.

(c)    Element 25 pierścienia Z[^] jest nieodwracalny.

(d)    W pierścieniu Z[iv/5] element 9 ma jednoznaczny rozkład.

(c) Każdy element pierwszy pierścienia jest nierozkładalny.

Powodzenia!

1