22871

Kolokwium z Algebry II rok WMS 0d.01.2007

Zadanie i (llptk) Udowodnij, że pierścień A przemienny z jedynką ma dokładnie jeden ideał

maksymalny wtedy i tylko wtedy gdy A ^ {0} oraz suma dwóch dowolnych elementów nieodwracalnych w ,4 jest elementem nieodwracalnym w A.

Zadanie 8 (12plk) Niech I będzie ideałem pierścienia A.

a(6plk) Dla A-Z oraz 7 = 5Z wykaż, ze I jest ideałem pierwszym i maksymalnym.

b(6ptk) Wykaż, że A ma dzielniki zera wtedy i tylko wtedy gdy A[(A’)] ma dzielniki zora.

Zadanie. X (8ptk) Dane niech będą wielomiany / — OnATⁿ-K. .4-«o 6 -4[A] oraz g — X~c€

A|A^r|. Znaleźć wzory rekurencyjne schematu Homera na współczynniki ilorazu q = ó_rł_i X^n_1... -I- bjA' + bo oraz na resztę r € A z dzielenia z resztą wielomianu / przez, wielomian g a następnie wykonać wskazane dzielenie z resztą w pierścieniu Z^\X):

2X⁴ - X² + X² + 3A + 3 przez 3A² + A' + 4.

Zadanie 4 (9ptk) W pierścieniu Z\i\/3)

a(3ptk) Zbadać czy element 2 - 2iV3 ma rozkład jednoznaczny na czynniki nierozkładalne.

b(3pt.k) Zbadać istnienie N\VD(2 - 2i\^/5,4).

c(3płk) Zbadać czy element 2 - 2i\/3 jest elementem pierwszym.

Powodzenia f