analiza I

Egzamin z analizy

II rok MF I termin

1. Niech / : IR² —> R. będzie funkcją określoną wzorem:

ff* u) = I    (^J/) ^ (0,0);

^H '^m 1 U    gdy (x,y) = (0,0).

Zbadać ciągłość i różniczkowalność tej funkcji w punkcie (0.0)

IR określonej wzorem

2. Znaleźć ekstrema funkcji / :

f(x,_iy) = sinxsiny 4- cos(a: + y).

3. Udowodnić, że równanie

, ^x

z = y + In —

z

określa w pewnym otoczeniu punktu (2e,l) dokładnie jedną funkcję 2 = y(x. y) klasy C'¹ w tym otoczeniu. Znaleźć pochodne cząstkowe funkcji g w punkcie (2e, 1).

4.    Zaznaczyć na płaszczyźnie obszar:

G = {(x,y) : 0 < xy i 2x < y < z}.

Znaleźć dyfeomorfizm przekształcający kwadrat (0,1) x (0,1) na G.

5.    Znaleźć ekstrema warunkowe funkcji

f(x, y, z) = xy 4- 2xz + 2yz

przy warunku

xyz = 4.