Ekstrema Funkcji (1)

3. Ekstremalne wartości funkcji (ekstrema lokalne właściwe)

Niech dana będzie funkcja y - /(x) określona w przedziale (a,b) i niech punkty x,, x₂ będą punktami wewnętrznymi przedziału (a,b) - rys. 1.

Funkcja/(x) przyjmuje w punkcie xi maksimum lokalne właściwe, jeśli istnieje takie otoczenie punktu x\ , że dla każdego punktu x i- X| należącego do tego otoczenia zachodzi nierówność

/(x) < /(x,).

Funkcja/(x) przyjmuje w punkcie X2 minimum lokalne właściwe, jeśli istnieje takie otoczenie punktu X2 , że dla każdego punktu x ^ X2 należącego do tego otoczenia zachodzi nierówność

/(x) > /(x₂).

Maksima i minima funkcji nazywamy ekstremami tej funkcji.

Jeśli funkcja /(x) jest różniczkowalna w punkcie xo i ma w punkcie xo ekstremum, to pochodna funkcji f (x) w punkcie xq równa się zeru, tzn. /'(x₀) = 0 . Jest to warunek konieczny istnienia ekstremum - rys. 2.

Jeśli /'(xo) = 0 oraz z lewej strony punktu xo funkcja/ jest rosnąca, a z prawej strony punktu xo funkcja/ jest malejąca, to w punkcie xo funkcja f ma maksimum lokalne właściwe.

Jeśli /'(x₀) = 0 oraz z lewej strony punktu xo funkcja/ jest malejąca, a z prawej strony punktu xo funkcja/ jest rosnąca, to w punkcie xo funkcja / ma minimum lokalne właściwe.

Funkcja może posiadać kilka ekstremów lokalnych. Maksymalna lub minimalna wartość funkcji nie musi być ekstremum lokalnym i może występować na końcach przedziału {a, b).