82296

6.7 Pochodna kierunkowa funkcji trzech zmiennych

Niech dana będzie funkcja / : A —* R. A C W? . punkt Po(xo< Uo* 2o) € int A oraz wersor v= (cosq,coj»/?.cos7).

Zakładamy, że funkcja / ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu.

Definicja 6.19 (Pochodnej kierunkowej funkcji)

Pochodną kierunkową funkcji / w punkcie Po w kierunku v określamy wzorem:

Of    f(x₀ + t coso.ifo + tcos/^Zo + ż COS7)-/(x₀.Ito,2b)

-=(xo, yo.zo) = hm ---

dv    t—o+    t

Uwaga 6.12 Rozpatrując funkcję f na prostej o wersorze kierunkowym v otrzymujemy funkcję jednej zmiennej:

= f(X0 + t COSO.^0 + t CO&(j,ZQ +1 cos 7)

Z określenia pochodnej kierunkowej mamy:

%{xo.yo.zo) = v?(0) dv

Z reguł obliczania pochodnych funkcji złożonej wynika:

= |Vo) cosa +    cos/J + ^(Po)-cos-y

dv    0x    dy    dz

Uwaga 6.13 Pochodna kierunkowa jest uogólnieniem pojęcia jwchodnej cząstkowej.

Np. dla funkcji f dwóch zmiennych i wersorów v= (1.0), u= (0,1) mamy

2L ₌ ^_m!a2L^J

dv ox    o U    Oy

Pochodna kierunkowa określa prędkość zmiany wartości funkcji f w kierunku v

Analogicznie określamy pochodną kierunkową funkcji n zmiennych w punkcie fh w kierunku wersora v= (li.lj.....U) i otrzymujemy wzór:

Of

Definicja 6.20 (Gradient funkcji)

Gradientem funkcji / w punkcie Po nazywamy wektor określony wzorem:

^_fWv(§Ł_(Po).K_(Po).....f£₍P₀₎)

Uwaga 6.14

Jeśli funkcja f ma ciągle pochodne cząstkowe w punkcie Pq i v jest dowolnym wersorem, to:

^Ł(^po) = grad/(P₀)o v 0v

Interpretacja geometryczna gradientu

41