202(1)

Pochodną kierunkową funkcji u w kierunku / oznaczamy przez -77

Cl

albo przez u'_t, przy czym

Su

Tl

=- lim

i obliczamy wg wzoru

Su

~Sl

CU    Su    Su    ₀

= — cosa+^-cosp + -r- cosy = N ■ 1°

Sx    Sy    Sz

(a)

..    ,, rSu Su

gdz^ie: N _v

3tfl

& J

— wektor normalny do powierzchni równych

wartości, a 1° [cos a, cos/J, cosy] — wektor jednostkowy kierunku /.

Pochodna u\ jest równa co do wielkości prędkości zmian funkcji u(M) przy przemieszczeniu punktu M w kierunku /.

Funkcja różniczkowalna w każdym punkcie ma tv każdym punkcie pochodną kierunkową we wszystkich kierunkach.

Pochodne kierunkowa funkcji u(x,y,z) wzięte w dodatnim kierunku osi współrzędnych Ox, Oy, Oz są równe pochodnym cząstkowym u'_x, u'_y i u. tej funkcji. Pochodne w kierunkach przeciwnych różnią się tylko znakiem.

Pochodne kierunkowe funkcji u(x,y) w kierunku linii równych wartości (tj. w> kierunku stycznym do tej linii) i pochodne kierunkowe funkcji u(x, y, z) u' kierunku dowolnej linii, leżącej na powierzchni warstwicowej (czyli w kierunku stycznym do powierzchni warstwicowej) są równe zeru.

Gradientem funkcji (pola) u(M) nazywamy wektor

(b)

, Su . Su . . Su , grad «=Y_x^,+Hy^I+-te^k

Kierunek wektora grad u w każdym punkcie M pola pokrywa się z kierunkiem normalnej do warstwicy (poziomicy) przechodzącej przez ten punkt.

Spośród wszystkich pochodnych kierunkowych funkcji u(M), branych w różnych kierunkach, największą wartość ma zawsze pochodna w kierunku gradientu funkcji

Gradient jest więc wektorem prędkości najszybszego wzrostu funkcji.

933. Sporządzić wykresy poziomic dla pól skalarnych:

1) _u — _x+y, 2) u = x²+}-², 3) w = odpowiadających wartościom

1, 2, 3, 4, 5.

Rozwiązanie: 1) Biorąc u = 1, 2, 3, 4, 5 otrzymamy równania odpowiednich poziomic: x-\-y = 1, x+j = 2, x+>’^=:3, x+y — 4, ₌ 5. Kreśląc te linie w prostokątnym układzie współrzędnych xOy, fun otrzymamy proste, równolegle do dwusiecznej drugiego i czwaitego kąta układu współrzędnych (rys. 203).

Rys. 204

2) Pisząc równania poziomic: X²+>'² — 1, X² ! y² 2, x + y    •’’> / x²-y² = 4. xr -y² ~ 5 oraz kreśląc je w płaszczyźnie xOy, otrzymamy/ okręgi współśrodkowe, o środku w początku układu współrzędnycljf (rys. 204).

3)    Poziomicami 2y_ = X², j = x², 2_y = 3x", y === 2x², 2y = 5 v są par,!.-.¹ bole, symetryczne względem osi Oy i mające wspólny wierzchołek w początku układu współrzędnych (rys. 205).

i