0199

200

III. Pochodne i różniczki

x zastąpimy przez t, funkcje natomiast oznaczymy przez ę(t) i y/(t). Jeśli t zmienia się w przedziale <a, /?>, to wzór Cauchy’ego napiszemy w postaci

(4)

₌ y\i)

<p(P) - ę(a) ę\y)

Rozpatrzmy teraz krzywą określoną równaniami parametrycznymi (5)    x=ę(t),    y = y/(t) (a < r < J0).

Wówczas lewa strona wzoru także i tu wyraża współczynnik kątowy cięciwy łączącej końce łuku tej krzywej, a prawa — współczynnik kątowy stycznej w pewnym punkcie wewnętrznym łuku odpowiadającym wartości t=y [106, (11)].

Uwaga. Rozważania te sugerują myśl o możliwości wyprowadzenia wzoru Cauchy’ego ze wzoru Lagrange’a. Istota tego wyprowadzenia polega na tym, że zamiast zależności parametrycznej (5) ustalamy bezpośrednią zależność y=f(x) i wtedy wzór (4) okaże się równoważny ze wzorem (1).

§ 4. Pochodne i różniczki wyższych rzędów

115. Definicja pochodnych wyższych rzędów. Jeśli funkcja y—f{x) ma pochodną skończoną /=/'(*) w pewnym przedziale SE tak, że ta ostatnia sama jest znowu funkcją x, to może się zdarzyć, że ta funkcja ma z kolei także w pewnym punkcie x₀ z SC pochodną skończoną lub nieskończoną. Pochodna ta nazywa się pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y=f(x) we wspomnianym punkcie; oznaczamy ją jednym z następujących symboli:

-y

dx²’

u

y ,

d²f{x₀.

dx²

/'W,

D²f(x o).

Tak na przykład widzieliśmy w ustępie 92, że prędkość v ruchu punktu równa się pochodnej drogi s przebytej przez punkt względem czasu t: v=ds/dt, przyspieszenie a jest pochodną prędkości v względem czasu, a=dv/dt. A więc przyspieszenie jest drugą pochodną drogi s względem czasu, a—d²s/dt².

Analogicznie, jeśli funkcja y=f(x) ma drugą pochodną skończoną w całym przedziale SC (tzn. w każdym punkcie tego przedziału), to pochodna tej drugiej pochodnej, skończona lub nieskończona, w każdym punkcie x₀ z SE nazywa się pochodną rzędu trzeciego lub trzecią pochodną funkcji y—f(x) w tym punkcie; oznaczamy ją tak:

dx³’

d³f(x₀.

dx³

D³f(x o).

W podobny sposób od trzeciej pochodnej przechodzimy do czwartej itd. Jeśli założymy, że pojęcie pochodnej rzędu n— 1 jest już zdefiniowane i że pochodna rzędu n— 1 istnieje i jest skończona w przedziale SE, to pochodna jej w pewnym punkcie x₀ tego przedziału