0227

228

III. Pochodne i różniczki

Analogicznie, zastępując * przez jx otrzymujemy Stąd

S=2r sin \x=2r (t*—i*³ +    (0 <9" < i).

Ad+B6=2r [(,4 + '_iB)x-{^A +^B)x³-t(^_o0'A +3^ć?"B)*⁵], podczas gdy s=2rx. Naturalnie najlepiej wybrać A i B tak, żeby było

1,

wtedy bowiem lewa i prawa strona rozpatrywanego wzoru będą się różniły dopiero wyrazami zawierającymi x^s. Dla współczynników A i B otrzymujemy wartości A = —y, B=y i wzór przybiera postać

8<5—d . 2 d-d s -    + ^

Błąd A tego wzoru, jak łatwo widzieć, ma oszacowanie

|d|<r

x⁵

180

Jeśli kąt środkowy ma na przykład 30°, tzn. x — ^ tu, to zgodnie z tym oszacowaniem mamy \A\< <r •0,000007; w rzeczywistości s=r ■ 0,523599..., a według wzoru Huygensa otrzymujemy s=r-0,523593..., tak że różnica nie przekracza ustalonego ograniczenia.

5) W tym samym celu P. L. Czebyszew podał następującą regułę: przybliżona długość luku równa się sumie równych boków trójkąta równoramiennego zbudowanego na cięciwie o wysokości równej •_s/| strzałki (rys. 53b).

Załóżmy na razie h=yf Okaże się, że przyjmując y=->/5 otrzymujemy rzeczywiście przybliżenie w pewnym sensie najlepsze.

Jak widzieliśmy przed chwilą

jrf==/-sinx=r(x—gx³ + i^0i x⁵)    (0<ć?i<l).

Analogicznie

b—yf—yr (1 cos x)—yr (\x³ - ^ 0₂ x*)    (O<0₂<1).

Oznaczywszy przez s* sumę ramion trójkąta równoramiennego, o którym mowa w regule Czebyszewa, otrzymujemy

s*=2sj^df+h³=--2rx Vd-^² + ^o0i*⁴)² +y%x - ^6₂x³f =

=2rx\!l+(^y²— ~)x² + ax*+bx⁶+cx³ .

Teraz po to właśnie, by zredukować pod znakiem pierwiastka wyraz z x², przyrównujemy do zera współczynnik przy tym wyrazie, skąd znajdujemy y=V|-

Aby oszacować błąd, przepiszemy wyrażenie na s* w postaci

(15)    s*—2rx^]\-\-Ax*,

przy czym wyrażenie A zawiera drugą i czwartą potęgę x. Zakładając, że x<jit będziemy mieli x²<2,5, X*<6,5, a. wówczas dla A otrzymamy oszacowanie \A\ <0,06, czyli \A\x*<Q,4-

Wprowadzając dla wygody oznaczenie y=Ax*, otrzymamy zgodnie ze wzorem na przyrosty skończone [112]:

(0«?<1).

\J 1 -\-Ax*'=yJ 1 +y=1H--

2yJ\ +8y