0211

212

III. Pochodne i różniczki

analogicznie

- x'_ti >;) - 3x',2 (x;y_t2 - yź/,)

y_x3 =-

W)

f\5

itd.

122. Różnice skończone. Niech będzie dana funkcja/(x) określona w pewnym przedziale X. Będziemy zakładali, że wszystkie wartości x, z którymi będziemy mieli do czynienia, należą do tego przedziału. Ustalamy pewien przyrost Ax zmiennej x (będziemy zakładali dla ustalenia uwagi, że Ax>0, chociaż nic nie przeszkadza założyć, że Ax<0) i przyjmijmy

AfW=f(x.+Ax)-f{x).

Wyrażenie to będziemy nazywali pierwszą różnicą naszej funkcji. Drugą różnicą nazwiemy pierwszą różnicę pierwszej różnicy

A ²f{x)=A lAf{x) 1 = Af(x + Ax) — Af(x) =f(x + 2Ax) — 2f(x + Ax) +f(x).

Wyższe różnice zdefiniujemy indukcyjnie

A"f(x)=A [A"-^lf(x)\.

Dla K-tej różnicy można wyprowadzić wzór

A"f(x)= £ (-1)'+    =

=/(* + nAx) — ~ f(x+(n — \)Ax) +    f(x+(n —2)Ax) — ...+( — 1 )"/(*)

wyrażający tę różnicę bezpośrednio przez wartości samej funkcji f(x) w równo oddalonych od siebie punktach

x, x+Ax, x + 2Ax, ..., x-t-nAx.

Wzór ten łatwo jest udowodnić metodą indukcji matematycznej, co pozostawiamy do wykonania czytelnikowi.

Porównajmy teraz te różnice skończone z pochodnymi i różniczkami.

Załóżmy, że funkcja f(x) ma n — 1 pochodnych ciągłych

/'(*),/"(*), ...,/^<"‘^1>W

w przedziale domkniętym <x₀, x₀+nAx} i skończoną pochodną rzędu n/^<'° (jej co najmniej w przedziale otwartym (x₀, x₀ +nAx). Wówczas zachodzi wzór

(7)    A^l'f(x₀)=f^<"\i_n)-Ax", gdzie x_a<i„<x₀+nAx.

Dla n = 1 wzór ten sprowadza się do wzoru Lagrange’a, który jest najprostszym przypadkiem szczególnym wzoru (7). Aby udowodnić nasze twierdzenie metodą indukcji matematycznej, zakładamy słuszność wzoru otrzymanego z (7) przez zamianę n na n—1 przy odpowiednio zmodyfikowanych założeniach i udowodnimy (7) przy zrobionych tutaj założeniach. Z tych ostatnich wynika, że dla funkcji Af(x)=f(x+Ax)—f(x) w przedziale <x₀, x₀(n—l)Ax} spełnione są warunki mocniejsze od warunków stosowalności zmienionego wzoru (7), możemy więc napisać

(8)    A-¹ [Af(x₀)]=Aⁿf(x₀)= [ fⁱ"-¹\L-i+Ax)-fⁱ’-»(«._ _l))Ax"-\

gdzie jc₀<fi.-i<^o+(n — l)Ax. Stosując do prawej strony tej równości wzór Lagrange’a (^l) otrzymamy

(^ł) Mamy do tego prawo, ponieważ funkcja f^(l,~^1>(x) jest ciągła w przedziale    <f,-i +Ax),

a w jego wnętrzu ma skończoną pochodną f⁽ⁿ⁾(x).