0165

III. Pochodne i różniczki

/= lim 7^ = /^" ' (')•

Jx~+0 AX

166

mamy

W szczególności,

i    ,    , i

jeśli    y= — = x ,    to    y = (-l)-x =--= ,

X    X

jeśli    y = _xJx=x¹'²,    to    y = lx^_1/2 = ^.

6° Funkcja wykładnicza y = a* (a>0, — oo<x<+oo). Tutaj

Ay_a^x+óx-a^x_ _xa^óx-1 Ax Ax    Ax

Korzystając z granicy obliczonej w ustępie 77, 5), (b) otrzymujemy

Ay

y' — lim — = a^x\na . jx-*o Ax

W szczególności,

jeśli y = e^x , to y' = e^x .

Tak więc prędkość wzrastania funkcji wykładniczej (dla a> 1) jest proporcjonalna do wartości samej funkcji: im większą wartość funkcja już osiągnęła, tym prędzej w danej chwili rośnie. Daje to dokładną charakterystykę wzrastania funkcji wykładniczej, o której mieliśmy już sposobność mówić [porównaj 65].

7° Funkcja logarytmiczna y = log„x (0<u#l,0<x<+oo). W tym przypadku

Ay _ log_a(x + Ax)~ Iog_a x _ 1 ^lo8a\ ⁺ _x Ax    Ax    x

Ax

x    Ax

x

Skorzystamy z granicy obliczonej w ustępie 77, 5) (a) i otrzymamy

, Ay log_ae

y = hm — =-•

jx-*o Ax x

W szczególności dla logarytmu naturalnego otrzymujemy wyjątkowo prosty wynik:

gdy    y — In x,    mamy y' = — .

x

To jest przyczyną tego (chociaż w istocie nienową), że w badaniach teoretycznych oddaje się pierwszeństwo logarytmom naturalnym. Okoliczność, że prędkość wzrastania

(’) Jeśli fi>l, to dla x = 0 wartość pochodnej >>' = 0 możemy łatwo obliczyć bezpośrednio.