algebr KOLOS

Algebra ogółu u UMCS Lublin

Kolokwium Nr 1. grupa 2    (21.11.2013)

Zadanie 1. Niech G = {(x,.y) € R² : x ^0}. Sprawdzić, czy zbiór G z działaniem * określonym wzorem

(Xi,i/i) * (X₂,lj2) = (XiX₂,X,J/₂ + IJi)

jest grupą.

Zadanie 2. Rozważamy grupę G wszystkich macierzy kwadratowych A stopnia 2 o wyrazach z R, dla których det .4 ^ 0. z działaniem mnożenia macierzy. Dla a € R niech

Znaleźć wartości a, dla których A ma rząd 4 w grupie G.

Zadanie 3. Znaleźć permutację i6 5₅ taką, że w grupie S& zachodzi równość

(l 2    3 4    5\ A 2    3    4 5\

^5 4    1 3    2J    °^X ^4 1    2    5 3y    '

a następnie wyznaczyć jej rząd i zbadać parzystość.

Zadanie 4. Niech G = (Z₃ x Z3. ©), gdzie

A (a, 6) 0 (c.d) = (a©₃c,6©₃d).

a,b,c,deZ3

Niech H = ({(a, a) : a € Z₃},0). Wykazać, że // jest dzielnikiem normalnym grupy G oraz znaleźć G/II.

Zadanie 5.

Dla z = x + iy G Z[i’i niech f(z) = x + ?y. Sprawdzić, czy funkcja / jest izomorfizmem grupy (Z|ż], +) w grupę (Z, -ł-), a następnie wyznaczyć jej jądro oraz obraz.