Algebra ogólna

Algebra. Kolokwium Nr 2. grupa 2 (23.01.2014)

Zadanie 1.

Sprawdzić, czy zbiór wszystkich elementów nieodwracalnych pierścienia Z₈ jest ideałem tego pierścienia. Wyznaczyć dzielniki zera w tym pierścieniu.

Zadanie 2.

Niech a = 5 4- iV3.

1.    Znaleźć wszystkie dzielniki elementu a w pierścieniu Z[iy/3].

2.    Sprawdzić, czy element a jest rozkładalny w pierścieniu Z[i\/3j.

3.    Sprawdzić, czy element a jest odwracalny w pierścieniu Z[iV3].

4.    Znaleźć element b stowarzyszony z elementem a w pierścieniu Z[i\/3j.

1J Zadanie 3.

Suma dwóch pierwiastków wielomianu 2x³ - x² - 7x + c € Q[x] wynosi 1. Wyznaczyć c.

Zadanie 4.

Niech :ci,X2, ^3 będą pierwiastkami wielomianu .r³ - 3x²    5 € Q[xJ. Obliczyć

-^3    3*1    £3

Zadanie 5.

WYz:    zyć największy wspólny dzielnik wielomianów

/ (.t) =    + 1 i g(x) = 3x³ + 3x + 4

w pierścieniu %$[x].