95676

Zadania z algebry dwudniowej (zestaw 3)

Przykłady funkcjonałów dwuliniowych

1.    Które z. wymienionych funkcji są formami dwuliniowymi na odpowiednich przestrzeniach liniowych:

(a) p(.r,y) = x^T • y, gdzie x.y € K" zaś K jest ciałem:

(b) 0(.t,y) = x y^r. gdzie x.y G K" zaś K jest ciałem:

(c)    P(A.fl) = tr(Afi). gdzie A.B G M(/i.Af) zaś K jest ciałem:

(d)    $(A.B)~lr{AB BA), gdzie A. B € M(«.AT) zaś K jest ciałem:

(e)    P (A.B) = AB. gdzie A.B G M(n,AT) zaś AT jest ciałem;

(f)    P(A.tf) =lr(A-f fl), gdzie A.B G M(n,Af) zaś K jest ciałem:

(g)    P(A.fi) = tr(Afl^r). gdzie A. B G M(n.K) zaś K jest ciałem:

(h)    P(.v,y) = Re (xy). gdzie *,>’ € C zaś C jest przestrzenią nad R;

(I) P(x,y) = Re (xy). gdziex,y G C zaś C jest przestrzenią nad R:

(j)    P(.r,_v) = Im (jry), gdzie x,y € C zaś C jest przestrzenią nad R:

(k)    P(.v.>') = k>'l- gdzie x,y G C zaś C jest przestrzenią nad R:

(l)    P(f.g) = f_a fgdx, gdzie f.g są funkcjami ciągłymi na przedziale [«, b\:

(m)    P(f.g) = f£(f+g)^{1 2}dx, gdzie f.g są funkcjami ciągłymi na przedziale [a. b\:

(n)    P(/.g) = Ja ftfdx, gdzie f.g są funkcjami różniczkowanymi oraz f(a) = f(b) - gfą) = g(b) =0:

(o)    P(f-g) = {fg)(a). gdzie f,g € Af[X] oraz a € K:

<P> P(/-tf) = dcg(/». gdzie f.g G K(X).

W przypadku, gdy P jest funkcjonałem dwuliniowym zbadaj, czy jest on symetryczny, skośnie symetryczny lub altcmujący.

2.    W skończenie wymiarowych przestrzeniach dwuliniowych z poprzedniego zadania wybrać bazę i znaleźć macierz funkcjonału dwuliniowego w tej bazie.

3.    Niech C(a.b) będzie przestrzenią funkcji ciągłych na odcinku (a. b) zaś G(x) będzie ustaloną funkcją na odcinku (a.b) na C(a.b). Wykazać, źe odwzorowanie P(f.g) = G(x)f(x)g(x) dx jest formą dwuliniową.

4.    Wykazać, źe wielomiany Legendre 'a

tworzą bazę ortogonalną w przestrzeni cuklidcsowej (R*[X]. p). gdzie p(/.g) = fli(x)g(x) dx.

5. W przestrzeni liniowej C(0.2jt) wszystkich funkcji ciągłych określonych na przedziale (0.2x) funkcjonał dwuli-niowy określony jest wzorem

Niech J będzie podprzestrzenią przestrzeni C(0.2ti) generowaną przez zbiór {cos/u, sinnx : n G Z} (elementy przestrzeni 'J nazywamy wielomianami Fouriera).

Wykaż, że układ funkcji

(—7=. —^cos/iv, —= sin/iv : n€N) y/2x y/x    V*

jest bazą ortonormalną przestrzeni J oraz. że współrzędne ao.ai -6| .02.by.... funkcji / G J w tej bazie wyrażają się wzorami:

3

1

   f²*    I f²*    1 [²*

ao = —= / f(x)dx. a„= —=. / f(x)cosnxdx. b„= —= / f(x)s\nnxdx, n = 1.2

2

y/2x Jo    \' X Jo    y/K Jo

(współrzędne te nazywamy współczynnikami Fouriera tej funkcji).

6.    Niech (fi. P) będzie przestrzenią probabilistyczną oraz F(Sl) przestrzenią zmiennych losowych określonych na tej przestrzeni. Wykazać, że funkcja P(X, Y) = E(XY) jest funkcjonałem dwuliniowym na F(ŚŻ) (tutaj E(Z) oznacza wartość oczekiwaną zmiennej losowej Z). W przypadku, gdy Ś2 jest zbiorem skończonym znaleźć WKW na to aby funkcjonał p był dodatnio określony.

7.    Wykazać, że rodzina P(X) podzbiorów zbioru X z różnicą symetryczną (jako dodawaniem) i naturalnym mnożeniem przez elementy ciała Fi jest przestrzenią liniową nad Fi. Sprawdź, że odwzorowanie P(A.fl) = |Anfi| mod 2 jest funkcjonałem dwuliniowym na lej przestrzeni.