48951 P1070263

Przestrzenie liniowe

(1)    Niech V (0, oc). Określamy działania * oraz o w następujący sposób

V„.6ev* a *b = ab_y V_q6r V,_łev QOfl=a“.

Zbadać, czy (V^r, R, *, o) jest przestrzenią wektorową.

(2)    W zbiorze R² określamy działania

-t : R² x R² b ((x_lrx₂)r(yuV2)) -> (x₂ + ł/,,x₂ -1- 2/2) e R²,

° : R X R² B (a, (x_ux₂)) -> (azi,ax₂) € R².

Sprawdzić, czy czwórka (R², R, -b, o) jest przestzenią wektorową.

(3)    W zbiorze IR² określono działania

(^i,2/i) + (*2,1/2) = (xj -b x₂,yi + ?/₂), a • (*>2/) = {ax, y).

Czy (R².R, b, •) jest przestrzenią wektorową?

(4)    W zbiorze R² określono działania

(*i,2/i) + (*2,1/2) = (x_x -b a:₂,?7i 4-2/2),

a • (x,y) = (ax,-ay).

Czy (R²,R. -b,-) jest przestrzenią wektorową?

(5)    Niech -ł oraz • oznaczają zwykłe dodawanie i mnożenie w ciele liczb zespolonych. Definiujemy działanie o:

o:CxC9 (q, z) —> Re(a) • z e C

Sprawdzić, czy czwórka (C, C, -I , c) jest przestrzenią wektorową.

(6)    Wykazać, że jeżeli (K. b,-) jest ciałem, to (K,K,+,*) spełnia warunki przestrzeni wektorowej.

(7)    Niech (V, K. +, •) będzie dowolną przestrzenią wektorową, natomiast X zbiorem niepustym. W zbiorze

V^x := {/ | / : X - V}

wprowadzamy działanie wewnętrzne * oraz mnożenie przez skalai O w następujący sposób:

/ * g : X 3 x -* f{x) + g(x) eV, f,g£ V^x, atCf-X    6 V, a e K, / E V^x.

Wykazać, że (l"^v,K, *, O) jest przestrzenią wektorową.

1