120781

CAŁKA 1-EBESOUE’A

Niech (R, Bo(R), I) - przestrzeń z miarą

gdzie Bo(R) - c-algebra zbiorów borelowskich uzupełniona o podzbiory zbiorów miary zero

D.EFJ.NJ£JAfe,l (CAŁKA LEBESQUE'A)

Niech f R->R , feŁ'(l)

Całką Lebesque'a z funkcji 1 będziemy nazywali całkę względem miary Lebesque'a

Niech EeBo(R)    E jest zbiorem I mierzalnym

ffdl=j(fZe)dl

£

Oznaczenia:

J fdl = J f(x)/(dx) = J f (x)dx

E    E    E

TWIERDZENIE 6.2

Z:    f<sC[a,b]

l-calkowalna = całkowalna w

T:    f - całkowalna w sensie Lebesque'a    sensie Lebesque’a

Funkcja ciągła w przedziale domkniętym i ograniczonym jest całkowalna w sensie Lebesque'a

Uzasadnienie:

Opis konstrukcji ciągu funkcji prostych:

Niech f(x)5 0 dla x<=[d,ł>]

1.    Tworzymy normalny ciąg podziałów przedziału [a,b]

A»:a = xo<x,<-<x„ = ł> n-ty podział

Niech ⁼    ,^A*‘ . gdzie Ax_k = (x_k - x„.i)

Ciąg (A)„„n - nazwiemy normalnym jeżeli    ^{= 0}

2.    Niech ar =    f(^x) . wówczas u„(x) = J^a, z_ln

jest funkcją prostą utworzoną dla n-tego podziału przedziału [a.b]