skanowanie0003 (189)

IS Algebra liniowa

Kolokwium 1 (grupa 2):

1. Niech S := {z € C; |.:j = 1}. Wykazać, że {5, *}, gdzie • oznacza mnożenie liczb zespolonych, jest grupę, abelowę,. Znaleźć najmniejszy zbiór H C 5, taki, żeby {//<•} było grupę, abelowę. i żeby    € H.

2, Obliczyć

(v3-i)ⁿ uf [c&ytf

a+i)⁶ !

i wynik podać w postaci kanonicznej.

3. Pokazać indukcyjnie, że n~ta potęga macierzy

cos x sin x 0 - sin x cos x 0

icst równa.

0

0 1

cos nx sin nx 0

......sin nx cos nx 0

0 0 1

Ł titr-o

k'/-

łj ky * Ą W ⁺

^U W 4 (u/uj⁴- •• ⁺ A)Um

4. Niecłi V(R) jest przestrzenią wektorową. Dane są ?/-i,..., u_n należące do V(R). Defi niujemy wektory:

Vl ~-= Uy C^!2    ~ U] + 1/2;

.. .........

,    W

iP,(^4 ⁺    —⁴ Aoj^v H? Aa ■■ ■

W = t/-i + U.2 + ■. - 4- Uf_t.    l\ ^    • -⁺ <ćv\ *^ó

¹ - ■ - r = O »

•,    Z / r J* - C\

Wykazać, że y,j,,.. ,«_n są liniowo niezależne <4- rą,..., ?y są liniowo niezależne. */T    - - ^<oin - u

ktd/pa    _/    / &b'Yo/i

5. Niech / : (x\M^rh £3. £4) 6 i>^>4........> (rej -fuy. -frp) € i?². Wyznaczyć macierz, jądro.

obraz przekształcenia przyjmując bazę kanoniczną (podać wymiary i bazy Ker f i Im

o no 101 mdw) -    Uo,o| -n

^L>'    T\^:l

6, W bazie {(1,1,0), (1.0,1), (0.1.0)} wektor\na Współrzędne (if2

zbiór wektorów {(0.1,1). (1.0,2) (0.1,-1)} jest bazę. i, jeżeli tak. znaleźć współrzędne wektora w w tej bazie.    '{J&YOyl ~

Vp

3). Sprawdzić, czy

X l' t'

PNI k

A V

v/ J

^aJ