IMG (2)

Algebra liniowa IS Egzamin 5.02.2010

1.    Podać definicję grupy i ciała. Sprawdzić, czy podzbiór liczb zespolonych

S = {z 6 C : \z\ = 1} z działaniem będącym zwykłym mnożeniem liczb zespolonych, jest grupą przemienną. Podać najmniejszą podgrupę tej grupy zawierającą liczbę zespoloną i.

2.    Podać postać trygonometryczną liczby zespolonej i reguły mnożenia, dzielenia i potęgowania liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej. Omówić znajdowanie pierwiastów liczb zespolonych.

(a)    Przedstawić w postaci trygonometrycznej i algebraicznej wyrażenie

(a/3 + i)¹⁰

(1-i)⁶ '

(b)    Znaleźć pierwiastki zespolone trzeciego stopnia z liczby -i. Wynik podać w postaci algebraicznej.

3.    Podać definicję przestrzeni liniowej nad ciałem liczbowym. Czy zbiór wektorów postaci (x + y + 2z, y + z, x + z), gdzie x, y i z są liczbami rzeczywistymi tworzy podprzestrzeń przestrzeni wektorowej R³. Jaki jest jej wymiar? Podać przykład wektorów bazowych dla tej podprzestrzeni.

4.    Podać definicję niezależności liniowej wektorów. Czy wektory (1,—1,0), (2,1,1) i (3,0,2) są liniowo niezależne?

5.    Sprawdzić, że (1,1,0), (1,0,1) i (0,1,1) tworzą bazę w R³. Jakie współrzędne będzie miał w tej bazie wektor (5,2,1).

6.    Podać definicję przkształcenia liniowego A : V —> V', jądra przekształcenia liniowego i obrazu przekształcenia liniowego. Pokazać, że jądro przekształcenia liniowego jest podprzestrzenią V. Obraz A jest podprzestrzenią w V'. Jaka jest suma wymiarów obu podprzestrzeni?

7. Znajdź macierz przekształcenia / : R³ —> R² danego przez f(x,y,z) — (x + y,y- z) w bazach odpowiednio {(1,1,1), (1,1,-1), (2,1,0)} i {(1,1), (1,-1)}.

1