3 (380)

B

3.02.03

Egzamin z algebry liniowej

Imię i nazwisko:

Numer grupy:

Zad. l(7p.)

a)    NWD( 17, 21) zapisz, korzystając z algorytmu Euklidesa w postaci \la + 2\b, a,beZ.

b)    Znajdź liczbę całkowitą d taką, że d s -3(mod21) i d s 2(mod 17). Jaka jest najmniejsza liczba naturalna spełniająca oba warunki?

Zad. 2(7p.) Rozwiąż równanie:

2z + (4-i)ź = 7 + i, zeC

Zad. 3(6p.)

	' 1	1	2		'-3	-1'
Niech A =	0	-1	3	, B =	1	0
	-2	2	0		_ 2	3

. Nie wykonując mnożenia zbadaj,

które z iloczynów AB², B^TBA, ABB^T istnieją, a następnie je oblicz.

Zad. 4(8p.) Przeprowadź dyskusję rozwiązalności układu równań w zależności od wartości parametru a:

x + 2y + az = 4 • -x + 3y-z = a 2x-2y + (a + l)z = 2 a

Zad. 5(8p.)

a)    Stosując metodę Gaussa rozwiąż układ równań:

x, - 2x₂    + x_Ą + x_s = 0

• x,-x₂+x₃    +2x_s=0

X, - 3x₂ - x₃ + 2x₄    = 0

b)    Wyznacz bazę i wymiar przestrzeni rozwiązań tego układu.

c)    Czy przestrzeń rozwiązań jest równa Lin((4,1,-1,-1,-1), (—1,0,—1,0,1)) ? Odpowiedź uzasadnij.

Zad. 6(7p.) Przekształcenie liniowe f: R² -> R³ spełnia warunki:

/0»0) = (1,1,—1), /(1,1) = (0,2,1).

a)    Oblicz /(0,1)

b)    Wyznacz macierz / w bazach standardowych.

Zad. 7(7p.)    Niech /: R³ -* R³, f(x,y,z) = (3x, 2x-y,-x + 2z) będzie

przekształceniem liniowym. Znajdź wartości własne /. Czy istnieje baza R³ złożona z wektorów własnych /. Odpowiedź uzasadnij.