11 (212)

A

2.02.04

Egzamin z algebry liniowej

Imię i nazwisko:

Numer grupy:

Uwaga: Rozwiązanie każdego zadania proszę pisać na oddzielnej kartce.

Zad. 1 (7p.) Liczbę zespoloną z = -1+i zapisz w postaci trygonometrycznej, a następnie wyznacz część rzeczywistą i urojoną liczby zespolonej z¹¹.

Zad. 2 (8p.) a) Za pomocą operacji elementarnych na wierszach oblicz macierz odwrotną do

1    0    1

macierzy A =

-12 0.

2    0    1

gdzie B =

0

3

6

b) Rozwiąż równanie macierzowe AX - B

Zad. 3 (6p.) Stosując wzory Cramera oblicz niewiadomą x₂ z układu równań

-xj + 3x₂ +5x₃ + x₄ - -2 -X]    +3x$+4x₄ - 0

Xj    + 2x₂ + 4x₄ — 0

x₂ - x₄ = 0

Zad. 4 (7p). Podaj definicję liniowej niezależności wektorów. Podaj przykład dwóch wektorów liniowo niezależnych w przestrzeni Lin( (3,2,5,5), (1,2,7,3),(1,0,-1,1),(1,1,3,2) ). Czy tworzą one bazę tej przestrzeni? Odpowiedź uzasadnij.

Zad. 5 (8p) Stosując metodę Gaussa rozwiąż układ równań:

5xj + 10x₂ + 14x₃ = 4 2xj +3x₂ +8x₂ = -3

.

3xj + 7x₂ +6x3 = 7 X] +x₂ +6x3 = -7

Zad. 6 (6p.) Niech /: R⁴ ->    , f(x,y,z,t) = (2x-y + t, x + z, 3y + z) będzie

przekształceniem liniowym. Wyznacz bazę i wymiar Kerf ..

Zad. 7(8p.) Niech f :R³-^R\ f(x,y,z) = (x + 4y-3z,3y + z,5y-z) będzie przekształceniem liniowym. Wyznacz wartości własne / .Czy istnieje baza R^J złożona z wektorów własnych / ? Odpowiedź uzasadnij.