2 (421)

A

3.02.03

Egzamin z algebry liniowej

Imię i nazwisko:

Numer grupy:

Zad. l(7p.)

a)    NWD(21, 31) zapisz, korzystając z algorytmu Euklidesa w postaci 2\a + 3\b, a,beZ.

b)    Znajdź liczbę całkowitą d taką, że d = 2(mod21) i d = —4(mod 31). Czy istmeje liczba dodatnia spełniająca oba warunki?

Zad. 2 (7p.) Rozwiąż równanie:

| z |² +(1 + i)z = 0, z e C

Zad. 3 (6p.) Niech A =

-1    1

0    2

B =

4-12 3    5-3

. Jeśli to możliwe oblicz 2A¹ A + 3 BB^T.

'JZad. 4 (8p.) Przeprowadź dyskusję rozwiązalności układu równań w zależności od wartości parametru a:

2x + ay + 2z = a + 2 x+y+z=a 4x + (a -1 )y + 2z = 8

Zad. 5 (8p)

a)    Stosując metodę Gaussa rozwiąż układ równań:

x, + 2x₂ - 3x₃ + x₄ + 2x_s = 0 - x, + 4x₂ — 5xj + 4x_s = 0 x, + 2xj - 3xj + x₄ + 3x₅ = 0

b)    Wyznacz bazę i wymiar przestrzeni rozwiązań tego układu.

c)    Znajdź współrzędne wektora (-3, 2, 1,2, 0) w wyznaczonej bazie.

Zad. 6(7p.)

Przekształcenie liniowe /: R³ —> R¹ ma w bazach standardowych macierz:

A =

"1 2 -3'

4 5    3

a)    Znajdź wzór jakim określone jest /.

b)    Wyznacz bazę obrazu /.

Zad. 7(8p.)

Niech /: J?³ R^J, f(x,y,z) = (-2x-3y + z,3y + z,3z) będzie przekształceniem liniowym. Znajdź wartości własne / i wektor własny dla jednej z nich.