egzamin 300dpi 0002

Algebra liniowa IS Egzamin poprawkowy (13.02.2009)

1.    Podać definicję grupy i ciała. Sprawdzić, czy dwuelementowy zbiór G = {a, b} z działaniem * zdefiniowanym przez:

a*a = b*b = a, a*b = b*a = b, jest grupę, przemiennę.

2.    Podać postać trygonometryczną liczby zespolonej i reguły mnożenia, dzielenia i potęgowania liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej.

(a)    Przedstawić w postaci trygonometrycznej liczbę 1 — iV3, a następnie znaleźć jej trzecią potęgę (1 — iV3)³ i przedstawić ją w postaci algebraicznej a + ib.

(b)    Przedstawić w postaci algebraicznej a + ib wyrażenie

(1 + *)¹⁰'

Obliczenia wykonać nie korzystając i korzystając z postaci trygonometrycznej liczb zespolonych. Wyniki porównać.

(c)    Znaleźć pierwiastki zespolone trzeciego stopnia z liczby -i, tzn. v^—z. Wynik podać w postaci algebraicznej.

3.    Podać definicję przestrzeni liniowej nad ciałem liczbowym. Pokazać, że zbiór wektorów postaci (x,2y,x — y), gdzie x i y są liczbami rzeczywistymi tworzy podprzestrzeń przestrzeni wektorowej R³. Jaki jest jej wymiar? Podać wektory bazowe dla tej podprzestrzeni.

4.    Podać definicję niezależności liniowej wektorów. Czy wektory (1,—1,0), (2,1,1) i (3,0,2) są liniowo niezależne?

5.    Sprawdzić, że (1,1, 0), (3,1,1) i (2, 0, 2) tworzą bazę w R³. Jakie współrzędne będzie miał w tej bazie wektor (4,2,3).

6.    Podać definicję przksztalcenia liniowego / : V —» V , jądra przekształcenia liniowego i obrazu przekształcenia liniowego. Znaleć jądro przksztalcenia / : V³ —> V², f(x,y,z) = (x, y — 2z). Podać jego wymiar i wektory (lub wektor) bazowe.

7.    Znajdź macierz przekształcenia / : R³ —>■ R² danego przez /(x, y,z) = (x — y, y + z) w bazach odpowiednio {(1,1,1), (1, -1,1), (2,1, 0)} i {(1,1), (1, -1)}.

1